Lösungsstrategie für binäre quadratische Formen

Inhaltsverzeichnis

• Einleitung
• Summe von zwei Quadraten
  • Primzahlen als Summe zweier Quadrate
  • Natürliche Zahlen als Summe zweier Quadrate
• Der gaußsche Zahlenring
  • Eigenschaften der gaußschen Zahlen
  • Die gaußschen Primzahlen
• Geometrische Veranschaulichung
  • Ganzzahlige Punkte in und auf Kreisen
  • Ellipsen und Hyperbeln
• Lösung des Problems durch unimodulare Transformationen
• Reduktionstheorie

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Bachelorarbeit zielt darauf ab, eine Lösungsstrategie für Gleichungen der Form ax² + bxy + cy² = n zu entwickeln, wobei a, b, c und n ganzzahlige Koeffizienten sind und x und y Variablen aus Z. Diese Gleichungen werden als binäre quadratische Formen bezeichnet.

• Darstellung von natürlichen Zahlen als Summe von zwei Quadraten
• Eigenschaften des gaußschen Zahlenrings
• Geometrische Interpretation von quadratischen Formen
• Äquivalenzrelationen zwischen quadratischen Formen
• Reduktionstheorie für binäre quadratische Formen

Zusammenfassung der Kapitel

• Einleitung: Die Arbeit stellt den historischen Kontext der Theorie der binären quadratischen Formen vor und erläutert die relevanten Mathematiker und ihre Beiträge.
• Summe von zwei Quadraten: Dieses Kapitel untersucht, welche natürlichen Zahlen sich als Summe von zwei Quadraten darstellen lassen, wobei insbesondere die Darstellung von Primzahlen betrachtet wird.
• Der gaußsche Zahlenring: Dieses Kapitel behandelt den gaußschen Zahlenring und seine Eigenschaften, insbesondere die gaußschen Primzahlen.
• Geometrische Veranschaulichung: Dieses Kapitel beleuchtet die geometrische Interpretation von quadratischen Formen, wobei die Darstellung von ganzzahligen Punkten auf Kegelschnitten im Fokus steht.
• Lösung des Problems durch unimodulare Transformationen: Dieses Kapitel präsentiert eine Transformation, die quadratische Formen in einfachere Formen umwandelt und gleichzeitig die Anzahl der Lösungen erhält.
• Reduktionstheorie: Dieses Kapitel erläutert die Reduktionstheorie und ihre Anwendung auf binäre quadratische Formen, um die Äquivalenz von Formen zu bestimmen.

Schlüsselwörter

Die wichtigsten Schlüsselwörter dieser Arbeit sind binäre quadratische Formen, Summe von zwei Quadraten, gaußsche Zahlen, geometrische Interpretation, unimodulare Transformationen, Reduktionstheorie, Äquivalenzrelation.