Existenz und Effizienz von Nash-Gleichgewichten

Inhaltsverzeichnis

• Einleitung
• Simplexe und deren Eigenschaften
  • Das Lemma von Sperner
  • Grundlagen der Graphentheorie
  • Das Lemma von Sperner
• Fixpunktsätze
  • Der Fixpunktsatz von Brouwer
  • Fixpunktsatz von Kakutani
• Grundlagen der Spieltheorie
• Existenz von Nash-Gleichgewichten
  • Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien
  • Nash-Geichgewichte in gemischten Strategien
• Anwendung von Nash-Gleichgewichten
  • Das Cournot-Duopol
  • Anruf bei der Polizei
• Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts
  • Perfektes Gleichgewicht
  • Weitere Ansätze für Verfeinerungen
• Fazit

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Arbeit analysiert das Nash-Gleichgewicht als Lösungskonzept für strategische Entscheidungssituationen. Dabei liegt der Fokus auf der Frage, unter welchen Bedingungen ein solches Gleichgewicht überhaupt existiert, da ein Lösungskonzept nur dann praktikabel ist, wenn es in der Praxis angewendet werden kann. Die Existenz von Nash-Gleichgewichten bildet daher den zentralen Aspekt der Arbeit und erfordert umfangreiche Vorbereitungen.

• Der Beweis der Existenz von Nash-Gleichgewichten
• Die Rolle der Fixpunktsätze von Brouwer und Kakutani
• Anwendung von Resultaten aus der konvexen Analysis
• Einführung grundlegender Konzepte der Spieltheorie
• Die Illustration von Nash-Gleichgewichten anhand von Beispielen

Zusammenfassung der Kapitel

Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in das Konzept des Gleichgewichts und seiner Bedeutung in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen. Sie stellt die Spieltheorie als eine junge Disziplin vor und erläutert das Nash-Gleichgewicht als ein wichtiges Lösungskonzept für Situationen, in denen das Ergebnis von den Entscheidungen aller Beteiligten abhängt. Der erste Teil der Arbeit behandelt Simplexe und deren Eigenschaften, die für den Beweis der Fixpunktsätze von Brouwer und Kakutani relevant sind.

Im Anschluss daran werden die beiden Fixpunktsätze behandelt und anschließend grundlegende Konzepte der Spieltheorie eingeführt. Es folgt ein erster Existenzbeweis für Nash-Gleichgewichte unter bestimmten Bedingungen. Der umfassende Existenzbeweis für Spiele, in denen Spieler zwischen ihren Entscheidungsmöglichkeiten randomisieren können, wird im nächsten Kapitel präsentiert.

Die Arbeit illustriert die Anwendung von Nash-Gleichgewichten anhand von Beispielen, um aufzuzeigen, unter welchen Umständen es sich um ein effizientes Lösungskonzept handelt und welche Probleme es mit sich bringt. Zum Schluss werden einige Möglichkeiten zur Verfeinerung von Nash-Gleichgewichten beschrieben.

Schlüsselwörter

Nash-Gleichgewicht, Spieltheorie, Fixpunktsätze, Brouwer, Kakutani, Simplexe, konvexe Analysis, strategische Entscheidungssituationen, reines Gleichgewicht, gemischtes Gleichgewicht, Anwendungen, Verfeinerung.