Circle Packings und Anwendungen. Eine kombinatorische Sichtweise

Inhaltsverzeichnis

• 1. Einführung
• 1.1. Fragestellung
• 1.2. Aufbau der Arbeit
• 2. Planare Graphen
• 2.1. Grundlagen
• 2.2. Definitionen
• 2.3. Eigenschaften planarer Graphen
• 2.4. Topologischer Exkurs
• 3. Radiale Level-Planarität
• 3.1. Level-Graphen
• 3.2. Radial level-planare Graphen
• 3.3. Radiale Planaritätstests
• 3.3.1. Radiale 2-Level-Graphen
• 3.3.2. Kriterium für nicht-proper-radiale k-Level-Planarität
• 4. Circle Packings
• 4.1. Über Circle Packings
• 4.2. Einführung und Definitionen
• 4.3. Circle Packing Theorem
• 4.4. Vorbereitungen zum CPT-Beweis
• 4.4.1. Label und Radien
• 4.4.2. Konstruktion der Hilfsdreiecke
• 4.4.3. Winkel und Winkelsummen
• 4.4.4. Monotoniekriterien
• 4.5. Beweis des Circle Packing Theorems
• 4.6. Eindeutigkeitsaussage des CPTs.
• 5. Circle Packings und Funktionentheorie
• 5.1. Möbiustransformationen
• 5.1.1. Inversion bzw. Kreisspiegelung
• 5.2. Eindeutigkeitsbeweis des CPTs
• 5.3. Stereographische Projektion
• 5.4. Inversion eines Circle Packings.
• 5.5. Circle Packings auf der Sphäre.
• 6. Folgerungen und Anwendungen des CPTS
• 6.1. Planar-Separator-Theorem
• 6.2. Level-Isolation
• 7. Schlussbetrachtung
• 7.1. Fazit, Ausblick, Bewertung.
• 7.2. Zurück zur Graphentheorie.

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Untersuchung von Circle Packings im Kontext planarer Graphen, insbesondere von radial level-planaren Graphen. Sie analysiert die Beziehungen zwischen Graphentheorie, Geometrie und Funktionentheorie, die sich durch die Anwendung von Circle Packings auf graphentheoretische Problemstellungen ergeben.

• Definition und Eigenschaften von Circle Packings
• Das Circle Packing Theorem und seine Bedeutung für die Graphentheorie
• Zusammenhang zwischen Circle Packings und radial level-planaren Graphen
• Anwendungen von Circle Packings in der Graphentheorie
• Verbindung von Circle Packings zur Funktionentheorie

Zusammenfassung der Kapitel

• Kapitel 1: Die Einführung stellt die Fragestellung der Arbeit vor, die die Verbindung von Graphentheorie, Geometrie und Circle Packings untersucht.
• Kapitel 2: Dieses Kapitel erläutert grundlegende Konzepte der planaren Graphentheorie, einschließlich Definitionen, Eigenschaften und topologischer Aspekte.
• Kapitel 3: Hier werden radial level-planare Graphen eingeführt, wobei verschiedene Planaritätstests und ihre Eigenschaften diskutiert werden.
• Kapitel 4: Es werden Circle Packings vorgestellt, ihr Zusammenhang mit planaren Graphen erläutert und das Circle Packing Theorem sowie dessen Beweis behandelt.
• Kapitel 5: Die Verbindung von Circle Packings zur Funktionentheorie wird durch die Einführung von Möbiustransformationen, der stereographischen Projektion und der Inversion von Circle Packings hergestellt.
• Kapitel 6: Folgerungen und Anwendungen des Circle Packing Theorems werden behandelt, zum Beispiel das Planar-Separator-Theorem und das Konzept der Level-Isolation.

Schlüsselwörter

Die Arbeit beschäftigt sich mit den Themen Circle Packings, planare Graphen, radial level-planare Graphen, Circle Packing Theorem, Funktionentheorie, Möbiustransformationen, Stereographische Projektion und graphentheoretische Anwendungen.