Abkürzungsverzeichnis
Symbolverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Problemstellung und themenadäquate Abgrenzung
1.2 Aufbau der Arbeit
2 Funktionsweise und Zahlungsprofil
2.1 Down-and-Out Calls
2.2 Up-and-Out Puts
3 Bewertungsmethoden
3.1 Bewertung in stetiger Zeit (BLACK/SCHOLES (1973))
3.1.1 Direkte Lösung der partiellen Differentialgleichung
3.1.2 Das Modell von RUBINSTEIN/REINER (1991)
3.1.2.1 Die Barriere
3.1.2.1.1 Absorbierende Barrieren
3.1.2.1.2 Reflektierende Barrieren
3.1.2.2 Die Dichtefunktion
3.1.2.2.1 Die unbeschränkte Dichtefunktion
3.1.2.2.2 Defective Density
3.1.2.3 Die Bewertungsformel
3.1.3 Kritische Würdigung
3.2 Bewertung in diskreter Zeit
3.2.1 Duplikation in einem Binomialbaum
3.2.2 Duplikation bei einem Zinssatz >
3.2.3 Ansätze zur Berücksichtigung der inkonstanten Volatilität
3.3 Kritische Würdigung
4 Sensitivitätsanalyse („Die Griechen“)
4.1 Wertverlauf
4.2 Das Delta
4.3 Das Gamma
4.4 Das Omega
4.5 Das Vega
4.6 Das Theta
4.7 Das Rho
4.8 Zusammenfassung
5 Einsatzmöglichkeiten
5.1 Knock-Out-Optionen als Absicherungsinstrumente
5.2 Knock-Out-Optionen als Spekulationsinstrumente
5.3 Knock-Out-Optionen als Hilfskonstrukte
6 Exkurs in die Praxis
6.1 Slippage Costs
6.2 Das Gap -Risiko
6.3 Open End -Produkte
7 Fazit
Anhang A.1
Anhang A A.1
Anhang B B.1
Anhang C C.1
Anhang D D.1
Anhang E E.1
Anhang F F.1
Literaturverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1: Szenario-Vergleich für den Underlying-Kursverlauf
Abbildung 2: Das Reflexionsprinzip
Abbildung 3: Binomialbaum der Aktienkurse
Abbildung 4: Die Werte des DOC
Abbildung 5: Duplikationsportfolio nach dem ersten Schritt
Abbildung 6: Duplikationsportfolio nach dem zweiten Schritt
Abbildung 7: Wertverlauf DOC und Vanilla Call
Abbildung 8: Delta
Abbildung 9: Gamma
Abbildung 10: Omega
Abbildung 11: Vega
Abbildung 12: Theta
Abbildung 13: Rho
Abbildung 14: Vertikaler Bull Spread
Abbildung 15: Alternatives Duplikationsportfolio nach dem zweiten Schritt C.1
Abbildung 16: Alternatives Duplikationsportfolio nach dem dritten Schritt C.2
Abbildung 17: Vanilla-Berechnungen als Bildschirmkopie ("Print Screen") D.1
Abbildung 18: DOC- Berechnungen als Bildschirmkopie ("Print Screen") E.1
Tabelle 1: Kontraktspezifische Daten des exemplarischen DOC
Tabelle 2: Kontraktspezifische Daten des exemplarischen UOP
Tabelle 3: Portfolio 1
Tabelle 4: Portfolio 2
Tabelle 5: Portfolio 3
Tabelle 6: Open End-Produkt nach einem Tag
Tabelle 7: Die Anpassung des Finanzierungslevels und der Stop Loss-Marke
Im November 2001 stellte BNP Paribas ein neuartiges Finanzprodukt vor: Es wurde ein verbrieftes Derivat als Alternative zu herkömmlichen Optionsscheinen (sog. Plain Vanillas[1] ) aus der Taufe gehoben, um eine einfache und vor allem transparente Preisbildung kommunizieren zu können. Diese Generation von Derivaten sollte ihre Existenzberechtigung vor allem dadurch erhalten, dass die den Plain Vanillas inhärenten Risiken wie der Einfluss der Volatilität und der Zeitwertverfall auf ein vernachlässigbar geringes Ausmaß minimiert werden. Die absoluten Kursbewegungen des Basiswertes sollen somit nahezu ‚eins zu eins’ umgesetzt werden, um die Hebelwirkung zu verstärken. Diese Vorteile werden jedoch durch eine eingebaute Knock-Out-Barriere erkauft, bei deren Verletzung das Produkt vorzeitig und endgültig wertlos verfällt.[2]
Der Zeitpunkt der erstmaligen Emission wurde nicht zufällig ausgewählt, sondern vielmehr durch einen exogenen Schock begünstigt: Als Folge der Terroranschläge vom 11.September 2001 hatten die impliziten Volatilitäten[3] der Plain Vanillas weltweit ein Rekordhoch erreicht.[4] So kann ein Engagement in Zeiten relativ hoher Volatilitäten trotz richtiger Prognose des zukünftigen Underlying- Kursverlaufs mit einem Verlust enden. Dies ist immer dann der Fall, wenn anschließend sinkende Volatilitäten mehr am Zeitwert zehren, als am inneren Wert hinzu gewonnen wird.[5]
Das Konzept führte zu einer solch immensen Nachfrage, dass die übrigen Banken innerhalb von wenigen Monaten mit ihren eigenen Versionen des Knock-Out-Produkts reagierten. Mit den unterschiedlichsten Produktbezeichnungen der Emittenten entstand so ein eigenständiges Marktsegment, das nach nur einem knappen Jahr mehr Prämieneinnahmen (in Euro) erzielte als die Plain Vanillas, die sich seit 1989 in Deutschland fest etablieren konnten und bis zu diesem Zeitpunkt kontinuierlich Umsatzzuwächse verzeichneten.[6] Allein im ersten Halbjahr 2005 wurde in diesem Marktsegment (börslich und außerbörslich) mit 29,06 Milliarden € mehr Prämienvolumen generiert als mit Plain Vanillas, die für Einnahmen von 15,4 Mrd. € sorgten.[7] Die Deutsche Börse AG berichtet in ihrem Rundschreiben vom Februar 2005 von dem Phänomen, dass trotz eines historischen Tiefs der impliziten Volatilitäten, das die Plain Vanillas vergleichsweise preiswert macht, die Beliebtheit der Knock-Out-Produkte ungebrochen ist.[8]
Als Basiswert dienten zunächst Aktienindizes und einzelne Aktien. Inzwischen werden jedoch auch Devisen, Rohstoffe und Zinsen bedient.[9] In der Long-Variante, die von steigenden Kursen des Basiswertes profitiert, entspricht das Produkt einem Down-and-Out Call und in der Short-Variante, die entsprechend bei Kursrückgängen Gewinne erzielt, einem Up-and-Out Put.[10] Bei beiden Varianten handelt es sich um sog. Barrier-Optionen, die zu den pfadabhängigen Exotischen[11] Optionen zählen.[12] Im Vergleich zu Plain Vanillas zeichnen sich die ‚Exoten’ dadurch aus, dass sie eine günstigere und flexiblere Absicherungsmöglichkeit gegenüber ungewollten Entwicklungen bieten.[13] Für pfadabhängige Optionen ist nicht nur der Basiswert-Kurs zum Fälligkeitszeitpunkt relevant, sondern auch der historische Kursverlauf. Barrier-Optionen verdanken ihren Namen der Barriere, bei deren Erreichen das Optionsrecht entweder auflebt (In-Option) oder erlischt (Out-Option); die Barriere kann bei Emission entweder unter dem aktuellen Underlying-Kurs liegen (Down-Option) oder aber darüber (Up-Option). Da man als drittes Ausstattungsmerkmal zwischen einer Kaufoption (Call) und einer Verkaufsoption (Put) unterscheiden kann, ergeben sich somit mindestens 8 (=23) Permutationen, die in der angelsächsischen Literatur erschöpfend behandelt werden.[14]
Die in Deutschland als `Finanzinnovation´ zelebrierten Produkte werden dieser Auszeichnung allerdings nur national gerecht. Bereits im Jahre 1969, vier Jahre vor der Eröffnung der Chicago Board Options Exchange (CBOE), wird nämlich in einem Aufsatz über alternative Optionen ein Finanzderivat im US-amerikanischen außerbörslichen Handel beschrieben, das man heute als Down-and-Out Call bezeichnen würde.[15] In den späten Achtzigern des letzten Jahrhunderts traten in den USA erstmals auch Up-and-Out Puts in Erscheinung, die an den japanischen Nikkei-Index gekoppelt waren.[16] In Deutschland wurden auch vereinzelt Barrier-Optionen emittiert, bis Mitte der Neunziger Jahre horrende Verluste von großen Unternehmen wie Procter & Gamble und sogar ganzer Kommunen wie Orange County durch falschen Einsatz von Exotischen Optionen das gesamte Marktsegment in ein schlechtes Licht rückten.[17]
Angesichts der Erfolgsgeschichte dieses Produkts und der rasanten Entwicklung in diesem Marktsegment erscheint eine kritische, analytische Auseinandersetzung mit der Materie gerechtfertigt. Die zentralen Ziele der vorliegenden Arbeit bestehen deshalb darin, dieses Finanzinstrument aus der Sicht der Optionspreistheorie zu bewerten und zu analysieren. Diese Arbeit stellt einen Versuch dar, das als innovatives Nonplusultra propagierte Produkt in den theoretisch sachlichen Kontext einzuordnen und somit gewissermaßen zu „entmystifizieren“.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich ausschließlich mit Down-and-Out Calls und Up-and-Out Puts, da nur diese Varianten für den deutschen Kapitalmarkt relevant sind. Die Letzteren werden allerdings zur Vermeidung von Redundanz durch bloße spiegelbildliche Reproduktion nur da explizit behandelt, wo sie sich durch ihren Eigencharakter hierfür qualifizieren.[18] Die In-Option wird nur in einem komplementären Sinne in Paritätsbeziehungen berücksichtigt. Soweit nicht explizit modifiziert, soll die Knock-Out-Barriere identisch mit dem Basispreis sein. Dies trägt nicht nur der deutschen Usance in der Praxis Rechnung, sondern dient auch der Vereinfachung der Analyse. Es existiert nur eine Barriere und diese wird kontinuierlich überwacht. Die Barriere und der Basispreis beziehen sich beide auf den Kursverlauf desselben Underlyings. Die Ausübung der Option erfolgt Europäisch. Es wird grundsätzlich unterstellt, dass das Underlying keine Dividenden zahlt. Eine explizite Berücksichtigung würde zu Lasten der Übersichtlichkeit gehen, ohne das Lösungsprinzip zu tangieren.[19] Zweck dieser definitorischen Abgrenzung ist ein einheitlich verwendetes und eindeutig definiertes Begriffsinstrumentarium.
In der angelsächsischen Theorie und Praxis wurden in den letzten Jahren Weiterentwicklungen der Grundform vorgestellt, die bspw. zwei Barrieren[20] beinhalten oder eine diskrete Überwachung[21] vorsehen. Eine zweidimensionale Variante knüpft die Knock-Out-Bedingung und die Endauszahlung jeweils an unterschiedliche Basiswerte.[22] Darüber hinaus existieren auch Versionen mit einer Amerikanischen[23] Ausübung und solche, die ein sog. Rebate [24] (etwa: Rückvergütung) im Falle einer Barriere-Verletzung auszahlen.
Eine Berücksichtigung all dieser Weiterentwicklungen würde den Umfang dieser Arbeit sprengen, deshalb sollen diese nicht behandelt werden. Außerdem würde ein solcher Versuch mit dem Ziel kollidieren, sich dem deutschen Kapitalmarkt zu widmen.
In Kapitel 2 wird zunächst die grundsätzliche Funktionsweise der Knock-Out-Optionsscheine dargestellt. Anschließend folgt in Kapitel 3 ein systematischer Überblick über die Bewertungsmethoden. In Kapitel 4 soll im Rahmen einer Sensitivitätsanalyse untersucht werden, wie sensibel der Optionswert jeweils auf die Veränderung der Einflussfaktoren reagiert. Kapitel 5 widmet sich den verschiedenen Einsatzmöglichkeiten dieser Produkte, bevor in Kapitel 6 ein Exkurs in die Praxis vorgenommen wird. Hierbei sollen die in praxi anzutreffenden Probleme beleuchtet und eine neue Produktgeneration vorgestellt werden. Kapitel 7 fasst die Erkenntnisse der Arbeit zusammen.
Kapitel 3 und Kapitel 4 bilden den Kern der vorliegenden Arbeit, wobei der Schwerpunkt insbesondere auf der systematischen Herleitung der Bewertungsformel von RUBINSTEIN/REINER (1991) in Abschnitt 3.1.2 liegt.
Nur wenige Emittenten kommunizieren die ökonomisch korrekte Interpretation der Knock-Out-Produkte als Barrier-Optionen. Dies dürfte weniger einer definitorischen Fahrlässigkeit zuzuschreiben sein als einem Marketing-Kalkül, da eine Assoziation mit Exotischen Optionen sich nur schwer mit der propagierten Nachvollziehbarkeit der Preisbildung vereinbaren lässt.[25] Daraus resultiert die Notwendigkeit, unabhängig von den unterschiedlichen Produktbezeichnungen der Emittenten, die wesentlichen gemeinsamen Spezifika dieser Produkte herauszuarbeiten, um die gedanklichen Fundamente für die Bewertung zu legen. Dies ist Gegenstand der folgenden Erläuterungen. Die Darstellungen werden mit exemplarischen, real existenten Produkten unterlegt, um ein hohes Maß an Nachvollziehbarkeit und Veranschaulichung zu gewährleisten.
Die nachstehenden Ausführungen erfolgen anhand eines Down-and-Out Calls (im Folgenden: DOC) mit kontraktspezifischen Ausstattungsmerkmalen, die in Tabelle 1 wiedergegeben sind. Dieser DOC verbrieft dem Anleger das Recht, am Fälligkeitstag die betragsmäßige (positive) Differenz zwischen dem dann aktuellen Stand des DAX und dem Basispreis bar ausgezahlt zu bekommen (Cash Settlement). Die Voraussetzung dafür ist, dass der DAX während der gesamten Laufzeit immer über der Barriere notierte. Sollte diese vor Endfälligkeit erreicht oder unterschritten werden, wird der DOC automatisch ausgeübt. Da die Barriere kontraktgemäß genau dem Basispreis entspricht, ergibt sich in diesem Fall ein innerer Wert von Null. Dies führt dazu, dass der DOC sofort und endgültig wertlos verfällt.[26]
Ein Anstieg des DAX nach dem Knock-Out[27] über die Barriere lässt das Optionsrecht nicht wieder aufleben.[28] In Deutschland ist es üblich, dass der Emittent ein „ausgeknocktes“ Produkt symbolisch für 0,001 € (= 0,1 Eurocent) zurückkauft, damit der Anleger bei unterjähriger Haltedauer seinen Verlust im Sinne der Steuergesetzgebung realisieren kann.[29] Dies soll jedoch im Folgenden als faktischer Totalverlust behandelt werden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tabelle 1 : Kontraktspezifische Daten des exemplarischen DOC [31]
Allgemein lässt sich der Rückzahlungsbetrag eines DOC mit einem Basispreis, der der Barriere entspricht, bei Endfälligkeit folgendermaßen formalisieren:[32]
(1) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
mit:
T Fälligkeitszeitpunkt,
t Zeitindex (t ≤ T),
S Underlying-Kurs,
X Basispreis,
B Knock-Out-Barriere.
Die Ähnlichkeit mit einem Europäischen Standard-Call ist offensichtlich: Für den Fall, dass es nie zu einem Knock-Out kommt, führen sowohl der Vanilla Call als auch der DOC zum Fälligkeitszeitpunkt exakt zu derselben Zahlung in Höhe des dann geltenden inneren Wertes. Für den exemplarischen DOC entspricht dies einem Rückzahlungsbetrag von ST – 4.000. Da der DOC jedoch per definitionem mit einem potentiellen Knock-Out behaftet ist, kann dieser während der Laufzeit niemals einen größeren Wert aufweisen als sein c.p. gleich ausgestatteter klassischer Kontrahent.[33]
Abbildung 1 soll diese Zusammenhänge graphisch veranschaulichen: Dazu werden zwei mögliche Szenarien für den Kursverlauf des DAX skizziert. Der blaue Pfad und der grüne Pfad haben jeweils denselben Startpunkt und denselben Endpunkt. Würde der DAX als Basiswert einem Plain Vanilla zugrunde liegen, hätte der vorangegangene Kursverlauf keine Bedeutung für die Endauszahlung. Diese wäre für beide Szenarien identisch und würde exakt dem inneren Wert in T entsprechen:[34] “It is as if it did not matter whether you travelled from Paris to London by air or by the Channel Tunnel, as long as you arrived on time.”[35]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1 : Szenario-Vergleich für den Underlying-Kursverlauf[36]
Fungiert der DAX jedoch als Basiswert für einen DOC, so gewinnt die Pfadabhängigkeit an Bedeutung. Der grüne Pfad führt zu dem identischen Rückzahlungsbetrag wie der Plain Vanilla, da die Barriere während der gesamten Laufzeit nicht berührt bzw. durchbrochen wurde. Der blaue Pfad führt hingegen bei der ersten Verletzung der Barriere zur vorzeitigen und endgültigen Wertlosigkeit des DOC. Eine spätere Bewegung in die Gewinnzone ist unerheblich.[37]
Den nachstehenden Darstellungen liegt ein Up-and-Out Put (im Folgenden: UOP) mit den Daten zugrunde, die in Tabelle 2 wiedergegeben sind.
Dieser UOP verbrieft dem Anleger das Recht, am Fälligkeitstag die betragsmäßige (positive) Differenz zwischen dem Basispreis und dem dann aktuellen Stand des DAX bar ausgezahlt zu bekommen (Cash Settlement). Die Voraussetzung dafür ist, dass der DAX während der gesamten Laufzeit immer unter der Barriere notierte. Sollte diese vor Endfälligkeit erreicht oder überschritten werden, wird der UOP automatisch ausgeübt. Da die Barriere kontraktgemäß genau dem Basispreis entspricht, ergibt sich in diesem Fall ein innerer Wert von Null.[38] Dies führt dazu, dass der UOP sofort und endgültig wertlos verfällt.[39]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tabelle 2 : Kontraktspezifische Daten des exemplarischen UOP [41]
Nun soll der Vollständigkeit halber lediglich der Rückzahlungsbetrag bei Endfälligkeit formal dargestellt werden, da die übrigen Erläuterungen bezüglich des DOC in spiegelbildlicher Weise auf den UOP übertragen werden können[42]:[43]
(2) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Für den exemplarischen UOP ergibt dies einen Rückzahlungsbetrag in T in Höhe von 4.500 – ST, wenn es in der gesamten Laufzeit nicht zu einem Knock-Out gekommen ist.[44]
Nach der Illustration der Funktionsweise drängt sich für die Intuition eines jeden Ökonomen die Frage nach dem Wert der Barrier-Optionen auf. Nach dem überraschend frühen Debüt in der Fachliteratur durch SNYDER (1969)[45] war es kein Geringerer als MERTON (1973), der in seinem viel beachteten Aufsatz einen Down-and-Out Call nicht nur explizit als solchen bezeichnete, sondern auch eine Lösungsformel für die Scientific Community präsentierte[46]. Nach einer zwölfjährigen Absenz in der finanzmathematischen Literatur behandelten COX/RUBINSTEIN (1985) Down-and-Out Calls als eine kontraktspezifische Komponente einer speziellen Anleihe.[47] Die Arbeit von RUBINSTEIN/REINER (1991), die über die In-Out-Parität[48] zu geschlossenen Formeln für 32 Permutationen gelangen, markierte den wichtigsten Meilenstein in der Bewertung von Barrier-Optionen.[49] In bester `Kochbuchmanier´ wird eine Modellwelt präsentiert, in der je nach gewünschter Produktvariante die richtigen `Zutaten´ zusammengestellt werden können.
Der Materie widmeten sich seit jeher zahlreiche Arbeiten, die sich jedoch methodisch unter drei Konzepte subsumieren lassen. Die erste Methode orientiert sich an MERTON (1973) und sieht eine direkte Lösung der partiellen Differentialgleichung von BLACK/SCHOLES (1973) unter Berücksichtigung der Rand- und Nebenbedingungen vor. Alternativ hierzu nutzen RUBINSTEIN/REINER (1991) die ökonomische Struktur des Problems und stützen ihre Ausführungen auf den risikoneutralen Bewertungsansatz von COX/ROSS (1976)[50].[51] In jüngerer Zeit ist eine Strömung zu Tage getreten, die sich kategorisch von dem zeitstetigen Modellrahmen dieser beiden Methoden distanziert und die Erwägung einer statischen Duplikation befürwortet.[52]
Da den ersteren beiden Vorgehensweisen die Modellwelt von BLACK/SCHOLES (1973) zugrunde liegt, soll zunächst dieser Bewertungsrahmen in Grundzügen bis zu dem methodischen Scheideweg dargestellt werden.
Der Ansatz von BLACK/SCHOLES (1973) basiert auf der Idee, den Wert eines Portfolios, das die interessierende Option enthält, auf einem vollständigen Markt durch ein anderes, dynamisch angepasstes und sich selbst finanzierendes Portfolio zu duplizieren. Dieses Duplikationsportfolio enthält ausschließlich Finanzinstrumente mit bekanntem Preis und wird so gewählt, dass beide Portfolios (typischerweise) zum Fälligkeitstermin denselben Wert haben.[53] Aus der Annahme eines perfekten Marktes und vor allem aus der Arbitragefreiheit folgt gemäß Law of One Price, dass auch zu jedem früheren Zeitpunkt eine Wertgleichheit gegeben ist.[54] Diese Überlegungen beruhen auf Annahmen, die ideale Marktbedingungen repräsentieren:[55]
(a) Der risikofreie Zinssatz und die Volatilität des Basiswertes sind bekannt und über die Optionslaufzeit konstant.
(b) Die möglichen Kurse des Basiswertes am Ende eines finiten Intervalls sind lognormalverteilt.
(c) Der Basiswert zahlt keine Dividende aus; die Ausübung erfolgt ausschließlich Europäisch, d.h. nur am Fälligkeitstag.
(d) Es liegen perfekte Märkte vor: Steuern und Transaktionskosten fallen nicht an; Geldanlage und Kreditaufnahme zum risikofreien Zinssatz sowie Leerverkäufe sind in jedem gewünschten Umfang möglich.
(e) Wertpapiere sind kontinuierlich in Zeit und Menge handelbar.
Mit diesen Annahmen wird erreicht, dass der Wert einer Option nur vom Kurs des Basiswertes, von der Zeit und von Parametern abhängt, die bekannt und konstant sind.[56] Die Annahme (b) ist der Ausgangspunkt der weiteren Analyse. Die unterstellte Lognormalverteilung der zukünftigen Underlying-Kurse ist äquivalent zu der Annahme, dass diese einer geometrischen Brownschen Bewegung folgen.[57]
Die Rendite des Underlyings wird in der Literatur üblicherweise in eine deterministische und eine stochastische Komponente zerlegt. Die deterministische Komponente entspricht der erwarteten Rendite (der sog. Drift) des Basiswertes in der betrachteten Zeitspanne und der stochastische Anteil steht für zufällige Schwankungen der Rendite um ihren Erwartungswert.[58] Diese Informationen erlauben eine Zusammenfassung der Rendite in Form einer stochastischen Differentialgleichung:[59]
(3) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
mit:
d Differential,
α erwartete Rendite[60] des Underlyings,
dt kleines Zeitintervall,
σ Volatilität der Underlying-Rendite,
dz ein Wiener-Prozess[61].
Durch die Eliminierung der stochastischen Komponente (sog. Delta Hedging) ergibt sich bei Arbitragefreiheit schließlich für den Wert eines Standard-Calls C (S,t) die partielle Differentialgleichung von BLACK/SCHOLES (1973):[62],[63]
(4) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei
∂ C /∂ t partielle Ableitung der Funktion C (S,t) nach dem Argument t,
∂2 C /∂ S 2 zweite partielle Ableitung der Funktion C (S,t) nach dem Argument S,
rs stetiger Zinssatz.
Die Frage, wie mit dieser Differentialgleichung weiter verfahren wird, ist Gegenstand der nachstehenden Erläuterungen.
Wie in der Einleitung zu Kapitel 3 angedeutet, nahm bereits MERTON (1973) die Bewertung eines DOC vor. Dazu löst er die Gleichung (4) unter Verwendung von geeigneten Rand- und Nebenbedingungen direkt.[65],[66] Diese werden vorgegeben, um zum Ausschluss etwaiger Arbitragemöglichkeiten einen eindeutigen Wert zu erhalten, da die partielle Differentialgleichung (4) per se mehrere Lösungen hat.[67] Für einen DOC lassen sich diese Bedingungen folgendermaßen formulieren:[64]
Da Gleichung (4) ein Endwertproblem[68] ist, wird zunächst die Endbedingung für den Fall definiert, dass es nie zu einem Knock-Out gekommen ist:[69]
(5) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Mit steigenden Underlying-Kursen wird ein Knock-Out immer unwahrscheinlicher; gleichzeitig verliert der Basispreis als absolute Größe immer mehr an Bedeutung, so dass folgende Randbedingung gilt[70]:
(6) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Limes für den Grenzübergang der Variablen S gegen ∞ (Unendlich).
Die Bedingungen entsprechen soweit exakt denen eines Vanilla-Calls. Das Charakteristikum eines DOC findet nun in einer zweiten Randbedingung Berücksichtigung:
(7) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Eine interessante Interpretation liefert in diesem Kontext MERTON (1973): Er betrachtet einen Standard-Call als einen Spezialfall eines DOC, d.h. ein DOC mit einer Barriere B = 0 entspricht seinem c.p. gleich ausgestatteten Vanilla-Pendant.[71] Diese Auffassung lässt sich einfach bestätigen, wenn man Gleichung (3) auf beiden Seiten mit S multipliziert:
(8) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Erreicht der Basiswert einmal S = 0, ist auch dS gleich Null; gemäß der geometrischen Brownschen Bewegung kann sich der Kurs also nie wieder ändern und somit verfällt der Vanilla-Call selbst bei verbleibender Restlaufzeit wie ein DOC sofort wertlos.[72]
Mit diesen Rand- und Nebenbedingungen wird die Differentialgleichung (4) analytisch gelöst. Dazu wird sie anhand einer geeigneten Variablensubstitution in die aus der Physik bekannte Wärmeleitgleichung transformiert, für die eine geschlossene Lösung existiert.[73] Anschließend kann diese Transformation rückgängig gemacht werden, um die folgende Bewertungsformel für einen DOC zu erhalten:[74],[75]
(9) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei
(10) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],
und C (S; X; t) für den Wert eines c.p. identisch ausgestatteten Vanilla-Calls (per definitionem ohne Barriere) steht. Der Korrekturterm kann als ‚Rabatt’ auf einen Standard-Call aufgrund des den Barrier-Optionen inhärenten Risikos der sofortigen und endgültigen Wertlosigkeit verstanden werden.[76] Dieser Korrekturterm wird, soviel sei vorweggenommen, später in einer anderen Identität behandelt. Nun interessiert die Frage, ob Gleichung (9) die Bedingungen (5) bis (7) erfüllt. Der Wert des DOC soll im Folgenden der Reihe nach zum Fälligkeitszeitpunkt T, für S→∞ und für S = B geprüft werden.
Die Erläuterungen in Abschnitt 2.1 lassen erwarten, dass in T der Wert eines DOC exakt dem eines Vanilla Calls entspricht, wenn es vorher nicht zu einem Knock-Out gekommen ist. Dies impliziert für Gleichung (9), dass für T der Korrekturterm einen Wert von genau Null annehmen muss. Das ist nur dann möglich, wenn der zweite Faktor des Korrekturterms gleich Null ist.[77] Technisch gesprochen muss der betrachtete Call bei Endfälligkeit bei einem (fiktiven) Kurs von B2/ST aus dem Geld sein; d.h. es muss gelten:[78]
(11) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Eine simple Umstellung zeigt, dass X = B < ST gelten muss. Das trifft auch zu, da sonst ein Knock-Out als Trivialfall resultieren würde. Somit erfüllt Gleichung (9) die Endbedingung (5).[79]
Als zweiter Grenzfall soll geprüft werden, ob der Wert eines DOC für S→∞ gegen S konvergiert. Es resultiert unter Anwendung eines bekannten Grenzwertsatzes[80]:[81]
(12) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Somit wird auch die Randbedingung (6) erfüllt. Ökonomisch bedeutet dies, dass mit steigendem S die Wahrscheinlichkeit eines Knock-Out sinkt und die Wahrscheinlichkeit einer Ausübung der Option steigt. Angesichts des immer mehr an Bedeutung verlierenden Basispreises konvergiert der Optionswert gegen den Underlying-Kurs.[82]
Der dritte Grenzfall betrifft ein Knock-Out. Eine Berücksichtigung der Konstellation S = B (=X) in Gleichung (9) ergibt:
(13) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],
woraus erwartungsgemäß ein Wert von Null resultiert.[83] Somit erfüllt Gleichung (9) alle drei Bedingungen.
Abschließend bleibt noch zu prüfen, ob Gleichung (9) per se die Gleichung (4) erfüllt. Da es sich bei Gleichung (4) um eine lineare partielle Differentialgleichung handelt, ergibt die Summe von zwei (evtl. mit Konstanten multiplizierten) Lösungen dieser Gleichung selbst eine Lösung.[84] BLACK/SCHOLES (1973) haben gezeigt, dass C (S; X; t) und analog hierzu C (B2/S; X; t) jeweils eine Lösung der partiellen Differentialgleichung sind.[85] Mit einer konstant bleibenden Barriere B ergibt sich, dass Gleichung (9) mit dem Ausdruck
(14) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
für jedes beliebige K ≥ 0 eine Lösung der partiellen Differentialgleichung (4) darstellt.[86]
Die oben beschriebene Vorgehensweise enthält jedoch einen kritischen Schritt: Die Transformation in die Wärmeleitgleichung, deren Lösung aus der Physik bereits bekannt ist, ist einer ökonomischen Interpretation kaum zugänglich. Da analytische Transformationen nur für die wenigsten partiellen Differential-gleichungen existieren, wird diese Methode in praxi selten eingesetzt.[87]
Die Beobachtung, dass die erwartete Rendite des Basiswertes α nicht in die Differentialgleichung von BLACK/SCHOLES (1973) (Gleichung (4)) eingeht, nahmen COX/ROSS (1976) zum Anlass, im Gegensatz zu der Vorgehensweise im letzten Abschnitt die ökonomische Struktur des Problems aufzugreifen und die sog. risikoneutrale Bewertung zu entwickeln. Unter der Voraussetzung der geometrischen Brownschen Bewegung für den Basiswert muss eine Option zum Ausschluss etwaiger Arbitragemöglichkeiten exakt den Wert haben, den die Gleichung (4) `vorschreibt´.[88] Diese Gleichung darf jedoch (nicht direkt) von (Risiko-) Präferenzen der Anleger abhängen, da das einzige Maß hierfür die erwartete Rendite α ist und dieses nicht in die partielle Differentialgleichung eingeht.[89] Der Begriff der Risikoneutralität beschreibt eine Welt, in der die erwartete Rendite α für alle Wertpapiere genau dem risikofreien Zinssatz entspricht, weil Investoren für ihre Anlagen keine Risikoprämie verlangen.[90] Unter diesen Umständen kann o.B.d.A. auch Risikoneutralität der Wirtschaftssubjekte unterstellt werden.[91] So stellt die Fiktion einer risikoneutralen Welt keine Beeinträchtigung des Ergebnisses dar, so dass das Ergebnis auch in der realen Welt gilt.[92] Außerdem erscheint eine risikoneutrale Bewertung insofern unproblematisch, als die Option mit dem Basiswert gehedged werden kann.[93] Mit der risikoneutralen Bewertung wird der Wert einer Option schließlich ermittelt, indem der Erwartungswert der Fälligkeitsauszahlung auf Basis des risikofreien Zinssatzes diskontiert wird.[94]
Auf diese Fundamente stützt sich die Modellwelt von RUBINSTEIN/REINER (1991).[95],[96] Die einzelnen gedanklichen Bausteine, die dem Original-Aufsatz implizit zugrunde liegen, jedoch in diesem nicht explizit behandelt werden, wurden von RICH (1994)[97] systematisiert und für alle erdenklichen Variationen von Barrier-Optionen verallgemeinert. Im Folgenden soll nun diese Modellwelt vorgestellt werden.
Das wesentliche Charakteristikum einer Barrier-Option ist - nomen est omen - die Barriere. Im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen und in der Physik werden häufig absorbierende und reflektierende Barrieren diskutiert, die auch im Kontext der Barrier-Optionen relevant sind, da sie dem besseren Verständnis der anschließenden Analyse dienen.[98],[99] Deshalb sollen diese zunächst erläutert werden.
Ein spieltheoretisches Szenario könnte folgendermaßen aussehen: Man stelle sich einen Spieler vor, der einen Euro gewinnt bzw. verliert mit den Wahrscheinlichkeiten p bzw. q. Sein Startkapital betrage m Euro und sein Gegner verfüge über n – m Euro, so dass sich das gesamte Guthaben auf n summiert. Das Spiel läuft nur solange, bis der erste Spieler ein Kapital von Null oder n erreicht hat, d.h. einer der Spieler finanziellen Ruin erleidet. Nun interessiert die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ruins. Visualisiert bedeutet dies, dass ein `Partikel´ einer Irrfahrt (Random Walk) mit absorbierenden Barrieren bei 0 und n folgt. Somit ist diese Irrfahrt auf mögliche Positionen bei 1, 2,…, n –1 beschränkt. Bei Nicht-Existenz von Absorption spricht man von einer unbeschränkten Irrfahrt.[100]
Diese Unterscheidung zwischen beschränkten und unbeschränkten Prozessen wird im Kontext der Dichtefunktionen eine wichtige Rolle spielen.
Das oben beschriebene Spiel sei nun folgendermaßen modifiziert: Jedes Mal, wenn ein Spieler nur noch 1 € zur Verfügung hat, wird dieser in dem nächsten Durchlauf mit Wahrscheinlichkeit p 2 € besitzen und mit Wahrscheinlichkeit q bei 1 € bleiben. Als Spielkonvention kann man sich vorstellen, dass für den Fall, dass einer der Spieler seinen letzten Euro verliert, der (hilfsbereite) Gegner einen Euro schenkt, so dass das Spiel immer fortgesetzt werden kann. Graphisch entspricht diese Konvention einem Spiegel, der parallel zur x-Achse verläuft und ein Partikel, das sich von der Position 1 in Richtung 0 bewegt, wieder zu 1 reflektiert.[101]
Dieses Reflexionsprinzip[102] wird in der Literatur häufig als Hilfsmittel zur Bestimmung komplexer Wahrscheinlichkeiten herangezogen.[103] Abbildung 2 soll die anschließenden Überlegungen veranschaulichen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2 : Das Reflexionsprinzip [104]
Der Basiswert folge einem lognormalen Prozess, wie er durch eine geringfügige Umstellung der Gleichung (3) formalisiert werden kann:[105]
(15) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Der Kurs des Basiswertes zum Fälligkeitszeitpunkt ST lässt sich mit dem Renditeprozess Z des Underlyings folgendermaßen ausdrücken:[106]
(16) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],
wobei sich der Zeitpunkt 0 auf den Betrachtungszeitpunkt bezieht.[107] Außerdem ist die folgende Unterscheidung hilfreich: St stehe für den beschränkten lognormalen Kursprozess des Basiswertes mit einer absorbierenden Barriere B und St* sei der c.p. gleiche, aber unbeschränkte Prozess ohne die Barriere B. In Abbildung 2 entspricht b der Barriere ln (B/S0) und ZT* ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit einem Erwartungswert E von:[108],[109]
(17) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
mit:
(18) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Drift, wobei
(19) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten];
und einer Varianz (var) von:
(20) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
T–t 0 steht hierbei für die Restlaufzeit in Jahren und rd für den diskreten Zinssatz.[110] Nun interessiert jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Pfade in Abbildung 2 realisiert wird. Formal ist die Wahrscheinlichkeit W, dass der in T über 2b – z endende Pfad realisiert wird und die größte untere Schranke (infimum (inf)) nach dem Zeitpunkt t unter b liegt, folgendermaßen darstellbar:[111]
(21) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Analog gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass der in T unter z endende Pfad realisiert wird und die kleinste obere Schranke (supremum (sup)) nach t über b liegt:[112]
[...]
[1] In dieser Arbeit werden die Begriffe „Standard-Optionsschein“ und „(Plain) Vanilla“ synonym im Sinne eines herkömmlichen Optionsscheines angewandt.
[2] Vgl. zu diesem Absatz (sofern nicht anders vermerkt) BNP PARIBAS (2005a), S. 3f.
[3] Die implizite Volatilität ist der Wert für die Volatilität, für den die Bewertungsformel mit dem beobachtbaren Marktpreis der Option übereinstimmt. Siehe bspw. JARROW (1995), S. 248.
[4] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen (sofern nicht anders vermerkt) GOLDMAN SACHS (2004), S. 2.
[5] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 69.
[6] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen GOLDMAN SACHS (2003), S. 2.
[7] Vgl. DEUTSCHE BANK (2005), S. 1.
[8] Vgl. DEUTSCHE BÖRSE (2005a).
[9] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 70.
[10] Vgl. SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 37.
[11] Die Namensgebung geht auf RUBINSTEIN/REINER (1992) zurück. Davor waren Bezeichnungen wie Boutique - oder Designer -Optionen üblich. Siehe hierzu ONG (1996), S. 4.
[12] Vgl. SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 37.
[13] Vgl. ONG (1996), S. 4.
[14] Vgl. zu den letzten drei Sätzen HULL (2003), S. 439f.
[15] Vgl. SNYDER (1969), S. 94f. Der Autor spricht von einer Limited Risk Special Option.
[16] Vgl. ONG (1996), S. 4.
[17] Vgl. OBLAK/MESTEL (1999), S. 883.
[18] Die in den letzten zwei Sätzen beschriebene Vorgehensweise entspricht dem Usus in der relevanten Literatur. Siehe bspw. SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 36.
[19] Diese Vorgehensweise findet sich ebenfalls in der relevanten Literatur wieder. Außerdem ist damit die Konsistenz mit den Annahmen im Original-Aufsatz von BLACK/SCHOLES (1973) gewährleistet. Siehe zu diesen Erläuterungen NEFTCI (2004), S. 299. Bei Performance-Indizes (wie dem DAX) gehen Dividenden aufgrund der fiktiven Reinvestition implizit in die Berechnung ein. Siehe hierzu DEUTSCHE BÖRSE (2005b).
[20] Siehe bspw. ZHANG (2001), S. 309.
[21] Siehe bspw. KOU (2003), S. 955-964.
[22] Siehe bspw. HEYNEN/KAT (1995), S. 179-182.
[23] Siehe bspw. GAO/HUANG/SUBRAHMANYAM (2000), S. 1783-1827.
[24] Siehe bspw. HAUG (2004), S. 70f.
[25] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 39.
[26] Vgl. zu diesem Absatz HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 71f.
[27] „Knock-Out“ wird ab hier als Synonym für „Eintreten des Knock-Out-Ereignisses“ verwendet.
[28] Vgl. HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 85.
[29] Siehe hierzu bspw. HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 72.
[30] Ein Bezugsverhältnis von 0,01 bedeutet, dass ein DOC sich auf 0,01 Einheiten des DAX bezieht. Siehe hierzu HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S.28. Das Bezugsverhältnis soll zunächst zur besseren Verdeutlichung der Zusammenhänge vernachlässigt werden.
[31] Es handelt sich hierbei um den DOC der Deutschen Bank mit der Wertpapierkennnummer (WKN) „DB4000“.
[32] Vgl. zur formalen Darstellung auch JARROW/TURNBULL (2000), S. 636f. Da B = X, ist die Darstellung max(ST – X,0) hier trivial; ein Wert von Null würde ein Knock-Out implizieren. So bspw. SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 36. Für noch folgende Erläuterungen soll diese Darstellung jedoch trotzdem zunächst beibehalten werden.
[33] Vgl. zu diesem Absatz JARROW/TURNBULL (2000), S. 637.
[34] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen BOYLE/BOYLE (2001), S. 31f. Aus diesem Grund werden Plain Vanillas in der angelsächsischen Literatur im Kontext der Exotischen Optionen häufig als „pfadunabhängig“ kategorisiert. Siehe hierzu bspw. CARR/ELLIS/GUPTA (1998), S. 1169
[35] RUBINSTEIN/REINER (1991), S. 28.
[36] Eigene Darstellung in Anlehnung an WILMOTT (2000), S. 181.
[37] Vgl. zu diesem Absatz NEFTCI (2004), S. 216.
[38] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 72.
[39] Vgl. zu diesem Absatz (sofern nicht anders vermerkt) BAULE/SCHOLZ/WILKENS (2004), S. 323.
[40] Siehe Fußnote 30.
[41] Es handelt sich hierbei um den UOP der BNP Paribas mit der WKN „BNP21A“.
[42] Vgl. SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 36.
[43] Vgl. zur formalen Darstellung BAULE/SCHOLZ/WILKENS (2004), S. 323. Siehe auch die Erläuterungen in Fußnote 32.
[44] Vgl. BAULE/SCHOLZ/WILKENS (2004), S. 323.
[45] Vgl. SNYDER (1969), S. 94f.
[46] Vgl. MERTON (1973), S. 175f.
[47] Hier wird die analytische Lösung erst im Binomialmodell ermittelt und anschließend deren Grenzwert im kontinuierlichen Fall bestimmt. Auf eine Herleitung der Bewertungsformel verzichten die Autoren jedoch „aus Platzgründen“ gänzlich. Siehe zu diesen Erläuterungen COX/RUBINSTEIN (1985), S. 410.
[48] Diese Beziehung wird in Abschnitt 3.1.2.3 erläutert.
[49] Dem Verfasser ist keine (seriöse) wissenschaftliche Arbeit bekannt, die diese Quelle nicht zitiert.
[50] Vgl. COX/ROSS (1976), S. 153.
[51] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen BUCHEN (2001), S. 127.
[52] Vgl. ANDERSEN/ANDREASEN/ELIEZER (2002), S. 1.
[53] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen RUBINSTEIN (1999), S. 181-185. Siehe hierzu auch FRANKE/ HÄRDLE/HAFNER (2004), S. 70.
[54] Vgl. HAHNENSTEIN/WILKENS/RÖDER (2001), S. 358.
[55] Siehe zu den Annahmen BLACK/SCHOLES (1973), S. 640f. Die Annahmen im Original-Aufsatz wurden hier teilweise für eine bessere Übersicht zusammengefasst. Siehe zu den Annahmen über die bekannte Volatilität, die Nicht-Existenz von Steuern, den identischen (risikofreien) Zinssatz für Geldanlage und Kreditaufnahme und die kontinuierliche Handelbarkeit MERTON (1973), S. 162f.
[56] Vgl. BLACK/SCHOLES (1973), S. 641.
[57] Vgl. CHRISS (1997), S. 111f.
[58] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen HULL (2003), S. 222f.
[59] Siehe hierzu und zu der Gleichung WILMOTT (2005), S. 115.
[60] Hier weicht die Variablendefinition von der Konvention µ ab, da diese für die Notation von RICH (1994) reserviert ist, die im weiteren Verlauf der Darstellungen eine wichtige Rolle spielt.
[61] Da die Vergangenheit vollständig in dem aktuellen Kurs widergespiegelt wird, der keine weiteren Informationen enthält und die Märkte unverzüglich auf jede neue Information reagieren, die den Basiswert betrifft, entsprechen Kursänderungen des Basiswertes einem Markow-Prozess. Siehe hierzu WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 19. Der Wiener Prozess ist ein Spezialfall des Markow-Prozesses. Eine Variable z folgt einem Wiener-Prozess, wenn dz eine normalverteilte Zufallsvariable mit einem Erwartungswert von Null und einer Varianz von dt ist. In der Literatur wird synonym zu diesem Prozess häufig der Terminus „Brownsche Bewegung“ benutzt. Siehe zu diesen Ausführungen HULL (2003), S. 218f. und JARROW/RUDD (1983), S. 96.
[62] Siehe zu Delta Hedging und dem Arbitrage-Argument WILMOTT (2005), S. 142.
[63] Siehe zu dieser Gleichung BLACK/SCHOLES (1973), S. 643, Gleichung Nr. 7 mit einer anderen Notation. Eine ausführliche Herleitung dieser Gleichung findet sich in Anhang A.
[64] Vgl. zu diesem Abschnitt (sofern nicht anders vermerkt) WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 206-209.
[65] Vgl. MERTON (1973), S. 175f.
[66] Eine direkte Lösung der partiellen Differentialgleichung wird überhaupt dadurch ermöglicht, dass Barrier-Optionen eine „schwache Pfadabhängigkeit“ aufweisen und somit nur zwei unabhängige Variablen (S und t) besitzen. Ein Beispiel für „stark pfadabhängige“ Optionen ist die sog. Asiatische Option, deren Wert vom Durchschnitt des Basiswert-Kurses während der gesamten Laufzeit abhängt, was die Bewertung auf die dritte Dimension ausweitet. Siehe zu diesen Ausführungen WILMOTT (2000), S. 182f.
[67] Vgl. WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 45.
[68] Endwertprobleme sind in der angelsächsischen Literatur als Backward Equations bekannt; im Gegensatz zu Forward Equations erkennt man diese daran, dass die erste partielle Ableitung nach t und die zweite partielle Ableitung nach S dasselbe Vorzeichen haben, wenn diese auf derselben Seite der partiellen Differentialgleichung stehen. Siehe hierzu WILMOTT (2005), S. 157.
[69] Siehe zu dieser Bedingung auch KWOK (1998), S. 248.
[70] Siehe hierzu ergänzend WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 46.
[71] Vgl. MERTON (1973), S. 175.
[72] Vgl. WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 46.
[73] Diese Vorgehensweise erfolgt in Analogie zu BLACK/SCHOLES (1973), die diese Methode auf einen Vanilla-Call angewandt haben. Vgl. ebenda, S. 644.
[74] Für die Herleitung der folgenden Gleichung siehe auch KWOK (1998), S. 247-250. Da MERTON (1973) die Bewertung nur approximativ über eine Option mit unbestimmter Restlaufzeit (sog. Perpetual Option) vornimmt, um die Gleichung (4) auf eine gewöhnliche Differentialgleichung zu reduzieren, und außerdem die Erläuterungen zu seiner Vorgehensweise äußerst minimalistisch gestaltet (siehe MERTON (1973), S. 176), wird hier für die spätere Analyse zweckmäßigerweise die Notation von WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002) herangezogen. Siehe zu der Approximation durch Perpetual Options auch INGERSOLL (1987), S. 371-373.
[75] Es sei vorweggenommen, dass in Anhang B die Identität dieser Gleichung mit der (noch herzuleitenden) Bewertungsformel von RUBINSTEIN/REINER (1991) bewiesen wird.
[76] Vgl. MERTON (1973), S. 176.
[77] Der erste Faktor des Korrekturterms würde nur einen Wert von Null annehmen, wenn S t = 0. Dies ist jedoch in diesem Kontext der Trivialfall.
[78] Siehe zu dieser Ungleichung auch KWOK (1998), S. 250.
[79] Siehe hierzu auch KWOK (1998), S. 250.
[80] Siehe zu dem Grenzwertsatz OPITZ (2004), S. 338.
[81] Vgl. zu dieser Beziehung FRANKE/ HÄRDLE/HAFNER (2004), S. 77.
[82] Vgl. WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 46.
[83] Vgl. hierzu auch KWOK (1998), S. 250.
[84] Vgl. WILMOTT (2005), S. 143.
[85] Vgl. BLACK/SCHOLES (1973), S. 644.
[86] Vgl. WILMOTT (2000), S. 192.
[87] Vgl. zu diesem Absatz ZHANG (2001), S. 39. Für eine numerische Lösung der partiellen Differentialgleichungen wird häufig das Verfahren der sog. „Finiten Differenzen“ eingesetzt. Siehe hierzu BRENNAN/SCHWARTZ (1978), S. 461-474.
[88] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen COX/ROSS (1976), S. 152f.
[89] Vgl. CHRISS (1997), S. 191. Der Optionswert darf nicht direkt von Präferenzen der Anleger abhängen; indirekt gehen diese jedoch in die Bewertung ein, da Präferenzen den Kurs des Basiswertes beeinflussen. Siehe hierzu DERMAN/TALEB (2005), S. 2.
[90] Vgl. HULL (2003), S. 245.
[91] Vgl. COX/ROSS (1976), S. 153.
[92] Vgl. HULL (2003), S. 245.
[93] Vgl. DERMAN/KANI (1994), S. 32.
[94] Vgl. HULL (2003), S. 245.
[95] Vgl. RUBINSTEIN/REINER (1991), S. 28.
[96] In der angelsächsischen Literatur ist die Methode von RUBINSTEIN/REINER (1991) auch als the expectations method bekannt. Vgl. hierzu bspw. BUCHEN (2001), S. 127.
[97] Vgl. RICH (1994), S. 267-311.
[98] Vgl. ZHANG (2001), S. 208.
[99] Anhand der beiden Barriere-Typen lässt sich bspw. der optimale Zeitpunkt für ein Engagement auf dem Kapitalmarkt analysieren. Vgl. hierzu GOLDMAN/SOSIN/SHEPP (1979), S.401-413.
[100] Vgl. zu diesem Absatz FELLER (1970), S. 342.
[101] Vgl. zu diesem Absatz FELLER (1970), S. 343.
[102] Das Reflexionsprinzip wird aufgrund der Spiegeleigenschaft häufig auch method of images genannt. Vgl. bspw. COX/MILLER (1996), S. 221.
[103] Vgl. RICH (1994), S. 271.
[104] Eigene Darstellung in Anlehnung an HARRISON (1985), S. 8.
[105] Siehe zu dieser Annahme für den Kursprozess RUBINSTEIN/REINER (1991), S. 28. Siehe zu der folgenden Formalisierung NEFTCI (2004), S. 213.
[106] Diese Umformung ist nicht willkürlich gewählt. Zu einer ökonomisch intuitiven Zerlegung des Ausdrucks siehe JARROW/TURNBULL (2000), S. 92.
[107] Der Zeitpunkt 0 steht nicht (ausschließlich) für das Emissionsdatum der Option; diese Notation ist konsistent mit der in RICH (1994).
[108] Siehe zu den letzten drei Sätzen RICH (1994), S. 269-271.
[109] Vgl. zum Erwartungswert und zur Varianz der Zufallsvariable BAZ/CHACKO (2004), S. 72.
[110] Vgl. RICH (1994), S. 269.
[111] Siehe zu den letzten zwei Sätzen und der folgenden Darstellung JOSHI (2003), S. 197.
[112] Siehe hierzu und der folgenden Darstellung HARRISON (1985), S. 8.
