Discontinuous Galerkin Methods

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung

2 Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden

3 Discontinuous Galerkin Methoden für elliptische Probleme

3.1 Ausgangsproblem

3.2 Fluss-Formulierung

3.3 Primale Formulierung

3.4 Beispiele

3.4.1 Die Methode von Bassi und Rebay [5]

3.4.2 Die LDG-Methode [17]

3.4.3 Die klassische IP-Methode [18]

3.4.4 Die Methode von Baumann und Oden [7]

3.4.5 Die Methode von Brezzi et al. [13]

3.4.6 Die Methode von Bassi et al. [6]

3.4.7 Methode von Babuška-Zlámal [4]

3.5 Konsistenz

3.6 Beschränktheit, Stabilität und Approximationseigenschaften

3.6.1 Beschränktheit

3.6.2 Stabilität

3.6.3 Approximationseigenschaften

3.7 Fehlerabschätzung

3.7.1 Unterscheidung für stabile, vollständig konsistente Methoden

3.7.2 Untersuchung für inkonsistente Methoden und verschärfte Strafterme

3.7.3 Untersuchung für schwach-stabile Methoden

4 Discontinuous Galerkin Methoden für hyperbolische Probleme

4.1 Ausgangsproblem und Variationsformulierung

4.2 Konsistenz und Stabilität

4.3 A priori Fehlerabschätzung

5 Die DG- Methode für Elastizitätsprobleme in der Sattelpunktformulierung

5.1 Einführung

5.2 Ausgangsproblem

5.3 Schwache Formulierung

5.4 Existenz und Eindeutigkeit

5.4.1 Stabilität

5.4.2 Inf- Sup- Bedingung

5.5 Fehlerabschätzung

6 Notation

Zielsetzung & Themen

Die Diplomarbeit liefert einen umfassenden theoretischen Rahmen für Discontinuous Galerkin (DG) Methoden zur numerischen Lösung verschiedener partieller Differentialgleichungen. Ziel ist die einheitliche Herleitung der Theorie für elliptische Probleme sowie deren Erweiterung und Anwendung auf hyperbolische Probleme und Elastizitätsprobleme in der Sattelpunktformulierung.

• Grundlagen und Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden
• Methodenentwicklung für elliptische Differentialgleichungen
• Anwendung auf hyperbolische Advektions-Diffusions-Probleme
• Sattelpunktformulierung bei Elastizitätsproblemen zur Vermeidung von Locking-Effekten
• Theoretische Stabilitäts- und Konvergenzanalyse sowie Fehlerabschätzungen

Auszug aus dem Buch

Zusammenfassung der Kapitel

1 Einführung: Diese Einleitung stellt die Motivation für Discontinuous Galerkin Methoden dar und gibt einen Überblick über den Aufbau der Arbeit hinsichtlich elliptischer, hyperbolischer und Elastizitätsprobleme.

2 Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden: Hier werden die Flexibilität bei Gitterwahlen, die Eignung für h-, p- und hp-Adaptivität sowie die elementweise Erhaltung physikalischer Größen als zentrale Vorteile diskutiert.

3 Discontinuous Galerkin Methoden für elliptische Probleme: Dieses Kapitel bildet den Hauptteil der Arbeit, in dem die Theorie der DG-Methoden für elliptische Differentialgleichungen detailliert hergeleitet, verschiedene methodische Beispiele (Bassi-Rebay, LDG, IP, etc.) verglichen und Stabilitätseigenschaften analysiert werden.

4 Discontinuous Galerkin Methoden für hyperbolische Probleme: Die theoretischen Ansätze werden hier auf skalare, stationäre hyperbolische Gleichungen übertragen, wobei besonders die Stabilitätsanalyse durch Sprungstrafterme im Vordergrund steht.

5 Die DG- Methode für Elastizitätsprobleme in der Sattelpunktformulierung: Es wird untersucht, wie DG-Methoden bei der linearen Elastizität eingesetzt werden können, um numerische Locking-Effekte bei fast inkompressiblen Materialien zu vermeiden.

6 Notation: Eine übersichtliche Liste der in der Arbeit verwendeten mathematischen Symbole und Bezeichnungen.

Schlüsselwörter

Discontinuous Galerkin Methoden, Elliptische Probleme, Hyperbolische Probleme, Elastizitätstheorie, Sattelpunktformulierung, Finite-Element-Methoden, Numerische Stabilität, Fehlerabschätzung, Konvergenzordnung, h-p-Adaptivität, Konsistenz, Locking-Effekte, Variationsformulierung, Numerische Flüsse, Sobolev-Räume.

Häufig gestellte Fragen

Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?

Die Diplomarbeit befasst sich mit der mathematischen Theorie und Anwendung von Discontinuous Galerkin (DG) Methoden zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen in verschiedenen Problemstellungen.

Was sind die zentralen Themenfelder?

Zentrale Themen sind die einheitliche Formulierung von DG-Methoden für elliptische und hyperbolische Probleme sowie deren spezielle Anwendung in der Elastizitätstheorie zur Vermeidung von Locking-Effekten.

Was ist das primäre Ziel der Arbeit?

Das primäre Ziel ist es, einen allgemein gültigen Rahmen für verschiedene DG-Methoden zu schaffen und deren Konsistenz sowie Stabilitätseigenschaften systematisch zu analysieren.

Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?

Die Arbeit nutzt Variationsformulierungen und analysiert die Stabilität und Konvergenz der numerischen Lösungen mittels funktionalanalytischer Methoden wie der Lax-Milgram-Theorie und Inf-Sup-Bedingungen.

Was wird im Hauptteil behandelt?

Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Herleitung der DG-Methoden für elliptische Gleichungen, die Behandlung hyperbolischer Advektions-Diffusions-Probleme sowie die Sattelpunktformulierung für Elastizitätsprobleme.

Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?

Die Arbeit lässt sich primär durch Begriffe wie Discontinuous Galerkin Methoden, numerische Stabilität, Fehlerabschätzung, Konvergenz und Variationsformulierung charakterisieren.

Wie unterscheidet sich die Methode von Bassi und Rebay von der IP-Methode?

Die Methode von Bassi und Rebay zeichnet sich durch eine spezielle, "trickreiche" Wahl der numerischen Flüsse aus, die zwar stetige Ergebnisse bewirken kann, aber ohne zusätzliche Stabilisierung instabil ist, während die IP-Methode (Interior Penalty) explizite Strafterme nutzt.

Warum wird die Sattelpunktformulierung bei Elastizitätsproblemen betrachtet?

Die Sattelpunktformulierung wird genutzt, um bei nahezu inkompressiblen elastischen Materialien das sogenannte "Locking" zu vermeiden, das bei Standard-Finite-Element-Methoden zu ungenauen oder entarteten numerischen Ergebnissen führt.