1 Begründung der Themenwahl und Zielstellung der Arbeit
2 Theoretischer Exkurs
2.1 Das aktiv-entdeckende Lernen im Mathematikunterricht
2.2. Sachaufgaben im aktiv-entdeckenden Mathematikunterricht
2.3. Offene Sachaufgaben
2.4. Vorteil von offenen Sachaufgaben für den Lehrer und Schüler
2.5. Der Einsatz von Skizzenblättern
2.6. Orientierung an individuellen Lern- und Lösungswegen
3. Planung der Unterrichtseinheit
3.1. Allgemeine Bedingungen und Voraussetzungen
3.2. Verhältnis der Klasse 3a zum Mathematikunterricht
3.3. Lernvoraussetzungen
3.3.1. Individuelle Lernvoraussetzungen
3.3.2. Methodisch-strategische Fähigkeiten
3.3.3. Stofflich-inhaltliche Fähigkeiten
3.3.4. Sozial-kommunikative Fähigkeiten
3.3.5. Selbstkompetenz.
3.4. Überblick über die Gestaltung der Unterrichtseinheit
3.4.1. Stellung der Unterrichtseinheit
3.4.2. Ziele der Unterrichtseinheit
4. Ausgewählte Stunden der Unterrichtseinheit
4.1. Einführung offener Sachaufgaben
4.2. Verlauf der Unterrichtsstunde „Einführung offene Sachaufgaben“
4.3. Reflexion der Unterrichtsstunde „Einführung offene Sachaufgaben“
4.4. Verlauf der Unterrichtsstunde „Eisbäraufgabe“
4.5. Reflexion der Unterrichtsstunde „Eisbäraufgabe“
5. Reflexion der Unterrichtseinheit und Schlusswort
Während meiner Studien- und Referendarzeit fielen mir zahlreiche beeindruckende Zitate von Pädagogen und Wissenschaftlern in die Hände. Kein Vers hat mich jedoch so beeindruckt wie der folgende;
„ Erzähle mir und ich vergesse,
zeige mir und ich werde mich erinnern,
lass es mich selbst tun und ich verstehe.“
Konfuzius 561-479 v.Chr.
In zahlreicher Fachliteratur bestätigt sich dieses Zitat. Heute weiß man, dass der Mensch
- nur 10% von dem behält, was er liest,
- nur 20% von dem behält, was er hört und
- nur 30% von dem behält, was er sieht.
Wenn er jedoch eine Tätigkeit selbst ausführt, dann behält der Mensch bis zu 90%.[1]
Konfuzius steigert seine Aussage noch mit dem folgenden Vers „lass es mich selbst tun und ich verstehe“. Wenn ein Kind die Möglichkeit erhält, selbst etwas zu entdecken und zu tun, dann versteht es erst die Tätigkeit. Leider bekommen Kinder heute kaum die Gelegenheit und Zeit, etwas auszuprobieren, ein Geheimnis aufzuspüren, einen Rechenweg zu entdecken, nach einem Lösungsweg zu forschen oder zu experimentieren.
Herkömmlich-traditionelle Unterrichtsmethoden beten ihnen den gepriesenen „einzig richtigen Weg“ vor. Ihr Verständnis von Lernen entwickelt sich sehr eingeengt. Sie lernen Lösungswege auswendig, ohne sie zu begreifen und haben keine Vorstellung davon wie unterschiedlich Lösungswege sein können. Fehler werden nicht als Lernchance, sondern als negative Begleiterscheinung verstanden. Das Kind steckt in einem richtungsweisenden Korsett und kann kein kreatives, freies und selbstbewusstes Problembewusstsein entwickeln. Die Mathematik bietet jedoch so viel mehr als nur stupides Abarbeiten von Aufgabenpäckchen und Lösungswegen. Offene Sachaufgaben sind dafür u.a. ein perfekter Unterrichtsinhalt, um Konfuzius Forderung gerecht zu werden.
Der Lehrplan sieht für den Mathematikunterricht mehr vor, als das schlichte Erlernen von arithmetischen Grundfertigkeiten und Rechenarten. Mathematik heißt vielmehr als nur „Rechnen“. Den Schülern soll die Möglichkeit geboten werden, zu forschen und zu entdecken in einem problem- und handlungsorientierten Rahmen. Denn nur ein aktiv-entdeckendes Lernen fordert die eigenen Denkleistungen der Schüler. Heinrich Winter definierte bereits 1989 den Begriff „entdeckendes Lernen“ und stellte folgende Unterrichtsabfolge vor;
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der komplexe Begriff „aktiv-entdeckendes Lernen“ sieht weitere wichtige Merkmale vor;
-ganzheitliches Vorgehen
-Kenntnisse und Fertigkeiten werden nicht mehr nur „beigebracht“
-Lehrer schafft Voraussetzungen für die Auseinandersetzung mit dem
Lerninhalt
-Knüpfen eines Netzes
-veränderte Lehrerrolle[2]
Der letzte Punkt ist eine wichtige Voraussetzung für aktiv-entdeckendes Lernen. Der Lehrer steht nun nicht „mehr im Zentrum und damit allem im Weg“[3], sondern er glänzt durch Zurückhaltung. Er analysiert und beobachtet das Kind und erklärt nicht vorschnell. Entdeckungen regt er an und lässt eigene Lösungswege zu. Der Ideenaustausch untereinander wird gefördert und Fehler werden als natürliche Begeleiterscheinung gesehen. Es herrscht kein Zwang zum gleichschrittigen Vorgehen. Langzeiterfolge spielen eine bedeutende Rolle, wobei stets die Problemerarbeitung im Vordergrund steht. Ein aktiv-entdeckender Unterricht bringt zahlreiche Vorteile mit sich und hat nebenbei noch einen motivierenden Charakter auf Schüler, denn sie bekommen die Möglichkeit kreativ und selbsttätig zu lernen.
Das Sachrechnen stellt komplexe Anforderungen an das Kind. Es müssen Sachsituationen erfasst und in die Sprache der Mathematik übersetzt werden. Das Hauptanliegen des Sachunterrichts ist, „dass Kinder lernen unweltliche Situationen mathematisch zu erschließen und damit ihre Umwelt genauer und tiefgründiger, verständnisvoller wahrzunehmen.“[4]
Zu den Zielen des Sachrechnens gehören
- das Aufzeigen der Beziehungsmathematik
- das Mathematisieren realer Situationen
- Möglichkeiten der Schulung des komplexen und kreativen Denkens
- die Sicherung des mathematischen Könnens durch Anwendung
Ziel des Lehrers muss eine „verstärkte Berücksichtigung wirklichkeitsgetreuer Ausschnitte aus der Umwelt des Schülers (erlebte Wirklichkeit) gegenüber konstruierten Regelfällen aus dem Erwachsenenleben“ sein.[5] Oft versagen jedoch die typischen Sachaufgaben nach dem Frage-Rechnung-Antwort-System, weil sie für leistungsschwache Kinder zu schwer und für leistungsstarke Kinder zu leicht sind. Offene Sachaufgaben sind jedoch für Schüler mit unterschiedlichen Leistungsniveau konstruiert und bieten die Möglichkeit einer natürlichen Differenzierung, so dass jeder Schüler nach seinem Leistungsniveau arbeiten kann.
Offene Sachaufgaben sind Aufgaben, bei denen der Lösungsweg nicht vorgezeichnet und eine eindeutige Lösung nicht unbedingt erforderlich ist. Auch Irrwege dürfen zunächst beschritten werden. Die Aufgabenstellung ist so konzipiert, dass sie zu grundlegenden Überlegungen anregen und Diskussionen entfachen soll. Ihre Lösung soll inhaltliche, qualitative Argumentation erfordern und damit die Auseinandersetzung mit dem Lehrstoff vertiefen. Offene Sachaufgaben bieten bedeutende Lernchancen, denn Kinder dürfen flexibel denken und ihr Vorwissen kann auf der eigenen Basis stabilisiert werden. Anhand von zahlreichen offenen Übungsformaten überschreiten Kinder die sonst im Unterricht gebotenen Möglichkeiten. Sie begegnen produktiven Fragen und Problemen und gehen selbstständig aus dem gesicherten Stoffgebiet heraus. Diese zusätzliche Funktion bringt Kinder im mathematischen Denken voran, weil sie sich eigenständig soweit ins Stoffgebiet voranwagen, wie sie ihre Neugier und Fähigkeit treibt.
Der Charakter von offenen Sachaufgaben lässt außerdem zu, dass Kinder im Mathematikunterricht zu Forschern und Entdeckern werden, denn sie konstruieren ihren individuellen Lösungsplan selbst. Sie arbeiten eigenverantwortlich und erfinden ihre Lösung anhand von Vorwissen, mathematischen Grundlagen und
Kreativität. Jede Lösung verlangt eine Eigenproduktion ihres Denkens und setzt eine kognitive Denkleistung voraus. Sie genießen eine mathematische Freiheit, die ihnen zahlreiche Übungsformate nicht bieten können.
Die Schüler können anhand von offenen Sachaufgaben lernen, sich forschend-entdeckend und konstruktiv zu betätigen. Sie erhalten über die Problemstellung bzw. Aufgabenstellung das Angebot einer „herausfordernden Situation“.[6]
Sie lernen Lösungs- und Begründungsideen zu entwickeln und Lösungswege zu planen. Probleme müssen sie erkennen und konstruieren können. Bei der Lösungsfindung müssen sie über die gegebene Situation hinausgehen und die Aufgabenstellung variieren, fortsetzen und übertragen. Außerdem lernen sie Verallgemeinerungen zu erkennen und formulieren. Nicht nur die komplexen Anforderungen von offenen Sachaufgaben tragen zu einer qualitativen Mathematikdidaktik bei, sondern auch ihre offene Differenzierung. Jedes Kind erhält das selbe Aufgabenformat und kann nach seinem individuellen Leistungsstand die Aufgabe bearbeiten. Dabei entscheidet jeder Schüler /jede Schülerin selbst, welche Anforderungen er bereit ist zu erfüllen. Jeder kann nach seinem Ermessen zu einer Lösung kommen.
Die sogenannte Kapitänsaufgabe ist wohl eine der bekanntesten offenen Aufgaben. Unter einer Kapitänsaufgabe versteht man eine unrealistische Aufgabe, bei der aus den gegebenen Daten die gefragte Information nicht berechnet werden kann, weil (1) die Angaben unvollständig sind oder (2) die Angaben nichts mit der Frage zu tun haben oder (3) die mathematische Berechnung realitätsfremd ist.[7]
Beim Konstruieren von offenen Aufgaben sollte der Lehrer beachten, dass der Einstieg für die Schwächsten möglich ist und für die Stärksten voranbringend ist.
Offene Sachaufgaben bringen zahlreiche Vorteile für den Lehrer und sollten sich in jedem guten Mathematikunterricht wiederfinden. Die Schüler können sich mit Hilfe von gelernten mathematischen Begriffen und Verfahren (inhaltsbezogene Kompetenzen) auf Probleme einlassen, Gesetzmäßigkeiten finden und über verschiedene Frage- und Lösungsmöglichkeiten diskutieren. Es werden außerdem verstärkt die prozessbezogenen Kompetenzen (Mathematisieren, Kreativität und Argumentieren) angesprochen und entwickelt.
Außerdem sind offene Aufgaben ein gutes Analyseinstrument für Leistungsfähigkeit. Durch die offene Lösungswegfindung erhält der Lehrer/die Lehrerin eine komplexe Übersicht über die Denkleistung des Kindes. Verschiedene Denkrichtungen werden so sichtbar. Die Wissensbreite, die in der Klasse steckt wird sichtbar und das „Nebenbeiwissen“[8] einzelner Schüler geht nicht verloren.
Offene Sachaufgaben eröffnen außerdem einen anderen Blickwinkel auf den Unterrichtsstoff. Das bringt Abwechslung in den Unterricht und hat einen motivierenden Charakter auf die Schüler.
Wie bereits erwähnt, erweisen sich offene Aufgaben als sehr gutes Analyseinstrument. Der Lehrer erhält über jeden einzelnen Schüler Informationen über mathematische Kenntnisse/Leistung und Kreativität in der Problemlösungsfindung. Außerdem dienen offene Aufgaben sehr gut als Reflexion von Unterricht für den Lehrer. Hinzu kommt, dass der Lehrer eine Rückmeldung über Erfolg oder Misserfolg erhält. Während der Bearbeitung der Aufgaben in Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit kann der Lehrer als Beobachter agieren.
Dem Schüler bieten offene Sachaufgaben die Freiheit Bearbeitungsweisen und Darstellungsformen selbst zu wählen. Sie können den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben und die Zeiteinteilung selbst bestimmen. Ein interessanter Vorteil ist auch, dass sie die Möglichkeit haben Gedanken und Strategien ihrer Mitschüler kennen zu lernen. Außerdem lernen sie ihre Ausdrucksweise zu schulen und tragen zur Mitgestaltung des Unterrichts bei. Nicht zu vergessen ist die Motivation, die offene Sachaufgaben auf Kinder haben. Denn „die Faszination an der Mathematik zeigt sich besonders dann, wenn Gesetzmäßigkeiten, Rechenvorteile und Regeln entdeckt werden können.“[9]
Das Anfertigen einer Skizze kann Kindern beim Lösen von offenen Sachaufgaben sehr hilfreich sein. Der Gebrauch dieser Zeichnungen als Werkzeug unterstützt die visuelle Vorstellungskraft und erleichtert die Lösungsfindung. Beim Bearbeiten von Sachaufgaben, insbesondere wenn sie die Qualität von Problemlösungsaufgaben haben, kann es hilfreich sein, wenn die für das Problem relevanten quantitativen und räumlichen Beziehungen zeichnerisch dargestellt werden. Die individuelle Zeichnung kann besser überschaut werden und die nötigen Rechenoperationen sind leichter zu finden. Der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Repräsentationsformen ; -konkrete Handlung (enaktive Ebene), -grafische Darstellung (ikonische Ebene) und -mathematische Zeichen bzw. Sprache (symbolische Ebene) ist ein Kernstück mathematikdidaktischer Arbeit. Der Lehrplan weist ebenso auf eine unverzichtbare Voraussetzung für erfolgreiches Lernen im Mathematikunterricht hin. Er besagt, dass bei „der Bearbeitung von Aufgaben vielfältige Vorgehensweisen möglich sind.“ Weiter heißt es, dass Schüler „unterschiedliche Wege und Strategien entdecken, anwenden und erweitern sollen.“[10] Diese Vielfalt ist eine unabdingbare Grundlage für ein erfolgreiches Lösen von Sachaufgaben.
Da Lernen ein aktiver Vorgang ist, ist er individuell unterschiedlich. Der Lernende und der Lehrende könnte dies als lästige Beeinträchtigung abtun. Die unterschiedlichen Wege können aber auch produktiv genutzt werden. Der Lehrer kann im Unterricht eine Diskussion über unterschiedliche Lösungsstrategien in den Vordergrund stellen. Den Schülern nimmt man bei einer solchen Übung den Glauben, dass es nur den einzig richtigen Weg gibt. Hinzu kommt, dass die Schüler miteinander lernen und evtl. einen anderen Lösungsweg nachvollziehen und anwenden können. Dies ermöglicht einen intensiven Blick auf die zahlreichen Möglichkeiten und Varianten, die Mathematik bietet. Nicht zu vergessen ist die Förderung der Kreativität bei solch´ einer Unterrichtsmethode. Diese Kompetenz ist von unabdingbarer Bedeutung für die Entwicklung des Kindes. Schöpferisches und einfallsreiches Tun ist eine grundlegende Eigenschaft, die dem Kind eine Selbstsicherheit gibt. Sobald Schüler individuell arbeiten können, motiviert sie das im besonderem Maße. So erfahren sie, dass ihrer persönliche Gedankenarbeit Anerkennung findet.
Die Klasse 3a der Grundschule „Am Schötener Grund“ in Apolda besuchen 27 Kinder, davon 12 Mädchen und 15 Jungen. Die Schüler erhielten zu Schuljahresbeginn einen neuen Mathematiklehrer. Er unterrichtet nach traditionellen Methoden und zeigt sich neuen, offenen Unterrichtsformen eher abgeneigt. Im Mathematikunterricht wird ein sehr reproduktives, rezeptives und schablonenhaftes Denken gepflegt. Anleitung und Gelegenheit zum selbständigen Arbeiten, zum aktiv-entdeckenden Lernen erhalten die Schüler verhältnismäßig selten. Daher waren die Schüler und Schülerinnen motiviert als ich ihnen „die verflixte Aufgaben“ vorstellte.
Das Verhältnis der Schüler zum Mathematikunterricht ist als positiv einzuschätzen. Vor allem die Jungen freuen sich auf die Mathematikstunden. Zwischen einigen Kindern der Klasse ist ein spielerischer Wettkampf ausgebrochen, wobei zahlreiche Schüler hochmotiviert sind. Bietet man ihnen Rätsel, Knobeleien oder Spiele mit Wettkampfcharakter an, sind sie begeistert und leidenschaftlich bei der Sache. Der Rechenmeister, ein festes Ritual im Mathematikunterricht, krönt diese Wettbewerbe. Die Lern- und Leistungsbereitschaft im Mathematikunterricht ist deutlich ausgeprägter als in anderen Fächern.
Die Schüler erkennen im Mathematikunterricht gute Leistungen sehr hoch untereinander an und erweisen ihren Mitschülern bei sehr guten Bewertungen Respekt. Sie sind in der Lage sich gegenseitig zu motivieren und verhalten sich im Wettstreit kameradschaftlich und fair. Die mathematischen Leistungen der Klasse sind gut.
Den Schüler sind verschiedene Sozialformen vertraut. Sie arbeiten vor allem gern in der Partnerarbeit. Sie beherrschen Regeln und wenden sie praktisch an. Sie verhalten sich ihren Mitschülern gegenüber sehr kameradschaftlich. Gegenseitige Hilfe wird honoriert.
Ich habe den Kindern im Vorfeld Fragen zum Mathematikunterricht gestellt, und wir haben während des Unterrichts anregende Diskussionen über Mathematik geführt. Auf meine Frage „Was bedeutet für dich Mathematik?“ antworteten einige Kinder wie folgt;
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Max, ein leistungsstarkes Kind der Klasse, äußerte sich wie folgt;
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Anhand dieser Äußerung lässt sich erkennen, dass Max im Mathematikunterricht unterfordert ist. Er bewältigt nahezu alle Aufgabenformate schnell und korrekt. Für ihn stellen offene Aufgaben eine besondere Herausforderung dar.
Bei der Frage „Wozu du Mathematik brauchst?“, orientierten sich viele Kinder an der Einheit „Geld“. Das lag wahrscheinlich daran, dass wir gerade im Unterricht mit Euros und Cent arbeiten.
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[...]
[1] „Die Kunst zu präsentieren-Die duale Präsentation“ von W.G.Friedrich, Springer Verlag 2003
[2] Seminarunterlagen Mathematik
[3] Zitat Frau Pfeil
[4] Seminarunterlagen Mathematik, Handout „Sachrechnen“ von Frau Pfeil
[5] „Entdeckendes Lernen“ nach Heinrich Winter, 1987, 1989
[6] Power Point Präsentation von kap_6_sachrechnen.ppt+offene+sachaufgaben+kapit.de
[7] Studienseminarunterlagen Mathematik „Offene Aufgaben als Analyseinstrument“
[8] „Grundschulmagazin“ 2 / 2006 , „Mathematik entdecken mit guten Aufgaben“ von Simone Jurna und Silke Schindler
[9] Thüringer Lehrplan Mathematik, Seite 93
