Der Satz von Schönflies

Inhaltsverzeichnis

• Einleitung
• Der Satz von Schönflies
• Jordanscher Kurvensatz
• Ankleben einer D² an das Innere
• Klassifizierung einfach geschlossener Flächen vom Geschlecht 0
• Konstruktion einer geeigneten Morsefunktion
• Ausweitung der Einbettung zum Diffeomorphismus
• Verallgemeinerung und verwandte Probleme

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die vorliegende Arbeit zielt darauf ab, den Satz von Schönflies zu beweisen. Dieser Beweis beinhaltet zwei zentrale Sätze: den Jordanschen Kurvensatz und den Satz über die Charakterisierung der geschlossenen Flächen. Der Beweis des Satzes von Schönflies wird im Laufe der Arbeit entwickelt und in Kapitel 7 zusammengefasst. Abschließend betrachtet das achte Kapitel mögliche Verallgemeinerungen des Satzes.

• Beweis des Satzes von Schönflies
• Jordanscher Kurvensatz und seine Anwendung
• Klassifizierung geschlossener Flächen
• Konstruktion von Morsefunktionen
• Verallgemeinerungen und verwandte Probleme

Zusammenfassung der Kapitel

• Kapitel 1: Einleitung
  Dieses Kapitel führt in die Thematik der Arbeit ein und stellt den Satz von Schönflies vor. Es werden die wichtigsten Voraussetzungen für den Beweis des Satzes erläutert, darunter grundlegende Kenntnisse der Analysis und der Differentialgeometrie.
• Kapitel 2: Der Satz von Schönflies
  Dieses Kapitel präsentiert den Satz von Schönflies in seiner formalen Formulierung und erklärt die Bedeutung des Satzes in Bezug auf Einbettungen der S¹ in den R². Der Satz besagt, dass jede glatte Einbettung der S¹ in den R² zu einem Diffeomorphismus des R² erweitert werden kann.
• Kapitel 3: Jordanscher Kurvensatz
  Dieses Kapitel behandelt den Jordanschen Kurvensatz, der ein grundlegender Satz in der Betrachtung von Einbettungen der S¹ in den R² ist. Der Satz besagt, dass jede Jordankurve die Ebene in genau zwei disjunkte Gebiete trennt.
• Kapitel 4: Ankleben einer D² an das Innere
  Dieses Kapitel befasst sich mit dem Ankleben einer D² an das Innere einer Einbettung der S¹ in den R².
• Kapitel 5: Klassifizierung einfach geschlossener Flächen vom Geschlecht 0
  Dieses Kapitel untersucht die Klassifizierung einfach geschlossener Flächen vom Geschlecht 0.
• Kapitel 6: Konstruktion einer geeigneten Morsefunktion
  Dieses Kapitel befasst sich mit der Konstruktion einer geeigneten Morsefunktion für die Einbettung der S¹ in den R².

Schlüsselwörter

Der Satz von Schönflies, Jordanscher Kurvensatz, Einbettungen, Diffeomorphismen, glatte Mannigfaltigkeiten, geschlossene Flächen, Morsefunktionen, Verallgemeinerungen.