Konvergenz von Krylov-Verfahren für Eigenwertprobleme

Krylov-Verfahren sind iterative numerische Methoden, die zur Lösung großer linearer Gleichungssysteme oder zur Berechnung von Eigenwerten bei sehr großen, oft dünnbesetzten Matrizen eingesetzt werden.

Bei Matrizen der Größenordnung 10^6 x 10^6 sind Standard-Algorithmen (wie QR-Zerlegung) zu rechen- und speicherintensiv. Projektionsverfahren reduzieren das große Problem auf ein kleineres Teilproblem, das lösbar ist.

Anwendungen finden sich in der Physik (Schwingungen), Chemie (Verbrennungsprozesse), Makroökonomie (Marktstabilität) und Biologie (Populationsmodelle).

Konvergenz beschreibt, wie schnell und zuverlässig sich das iterative Verfahren dem tatsächlichen Eigenwert der Matrix annähert.

Meist werden diese Verfahren genutzt, um nur einen Teil des Spektrums (z. B. die betragsgrößten oder -kleinsten Eigenwerte) zu approximieren, da die Berechnung aller Eigenwerte bei riesigen Matrizen oft unmöglich ist.