Beitrag zum Jahr der Mathematik 2008

Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)

• Einleitung
• Erster TEIL: Wehrle-Formeln für Dreiecke
• w = A - r 2
• ab = 2r(2R+r)
• 2 r = a+b – c
• a+b = 2 (R+r)
• a½ = R+r ± √ (R 2 –A)
• Rationale Dreiecke mit natürlichen Seitenlängen
• Abstand der Zentren
• Der Sinus-Wehrle
• Andere trigonometrische Wehrles
• Des Sinus-Differenzen-Wehrle
• Die trigonomischen Potenzen-Wehrles
• Die Summe der Seitenquadrate des Dreiecks
• Die Kreise des Dreiecks
• Das Küßproblem
• Die Formel von Descartes
• Die Kreisspiegelung
• Die Krümmung der Küßkreise
• Die Krümmung der Ankreise
• Die Eulergerade und der Feuerbachkreis
• Merkwürdigkeiten beim Dreieck
• Teil II: Das Radienprodukt für Kreisvierecke
• Flächeninhalt A = √ ( abcd )
• Der Inkreisradius ist r = (2√abcd)/(a+b+c+d) ,
• Sehnen- und Tangentenvierecke
• Der Drachen-Wehrle
• Rationale Vierecke mit natürlichen Seiten
• Teil III: Pyramiden
• Das Analogon zum rechtwinkligen Dreieck: Der dreidimensionale Pythagoras
• r rechtwinkliger Tetraeder = abc / [(ab+ac+bc)+√(a²b²+a²c²+b²c²)]
• 2rR =abc √(a²+b²+c²) / [(ab+ac+bc)+√(a²b²+a²c²+b²c²)]
• Die Entfernung der Zentren
• Die Fehringer-Wehrle-Formel
• TEIL IV: n- und unendliche Dimensionalität
• Wir verlassen nun die uns vertrauten Sphären!
• Die Inhyperkugelmitte
• Satz des Pythagoras im n-Dimensionalen
• Die Umhyperkugelmitte
• Das allereinfachste Gebilde, genannt SIMPLEX
• Volumen der unendlich-dimensionalen Kugeln
• Schlußfolgerung
• ANHANG
• BEWEIS der WEHRLE-Formel
• Beweis der Flächenformel: A = w + r 2
• Beweis für w = R² - d²
• Übungsaufgaben zum Kapitel I:
• Übungsaufgaben zum Kapitel II:
• Übungsaufgaben zum Kapitel III:
• Beiträte von A. Fehringer
• Um- und Inkreisradien in Abhängigkeit der Seitenlängen im allgemeinen Dreieck
• Um- und Inkugelradien am allgemeinen Tetraeder
• Skalar-, Vektor- und Spatprodukt,

Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)

The purpose of this work is to explore the mathematical concepts of geometry in all dimensions, highlighting specific formulas and relationships for triangles, quadrilaterals, and pyramids. It delves into the concepts of in- and circumcircles, in- and circumspheres, and the geometry of kissing circles and reflections. The work also investigates the challenges and limitations of Euclidean geometry in the context of infinite-dimensional spaces.

• Geometric relationships in triangles, quadrilaterals, and pyramids
• In- and circumcircles/spheres and their properties
• Kissing circles and reflections
• The nature of geometry in infinite dimensions
• The limitations of Euclidean geometry

Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)

• Erster TEIL: Wehrle-Formeln für Dreiecke This chapter introduces the Wehrle number, a fundamental concept related to the product of the in- and circumradius of a triangle. It explores various formulas and relationships for triangles, including rational triangles and the distance between the centers of in- and circumcircles. Key themes involve trigonometric Wehrle numbers and the properties of the in- and circumcircles.
• Teil II: Das Radienprodukt für Kreisvierecke This chapter delves into the properties of quadrilaterals with in- and circumcircles. It discusses the relationships between the sides and diagonals of these quadrilaterals, including the concept of rational quadrilaterals.
• Teil III: Pyramiden This chapter extends the exploration of geometric relationships to three dimensions, specifically focusing on pyramids. It covers the three-dimensional Pythagorean theorem, the calculation of in- and circumsphere radii, and the Fehringer-Wehrle formula for general tetrahedrons.
• TEIL IV: n- und unendliche Dimensionalität This chapter explores the challenges and limitations of Euclidean geometry when applied to spaces of higher dimensions. It examines the concept of in- and circumspheres in n-dimensional space and discusses the surprising result that spheres in infinite-dimensional space vanish. This chapter highlights the need for a reassessment of Euclidean geometry in the context of infinite dimensions.

Schlüsselwörter (Keywords)

This work focuses on key concepts such as Wehrle number, in- and circumcircles/spheres, kissing circles, reflections, rational triangles and quadrilaterals, the Pythagorean theorem, and the limitations of Euclidean geometry in infinite dimensions. These concepts are explored through specific formulas and relationships, providing insights into the nature of geometry in various dimensions.