Grundlagen der Portfoliooptimierung unter Darstellung der Abhängigkeitsstruktur durch Kopulas

Inhaltsverzeichnis

• 1. Problemstellung und Ziel der Arbeit
• 1.1. Beschreibung der Problemstellung
• 1.2. Spezialfall alternative Investments und deren spezifische Probleme
• 1.3. Estimation Risk vs. Model Risk
• 1.4. Ziel der Arbeit
• 2. Grundlagen der Portfoliooptimierung
• 2.1. Einführung
• 2.2. Ertragsmessung
• 2.3. Risikomessung
• 2.3.1. Varianz
• 2.3.2. Value at Risk
• 2.3.3. Höhere Verteilungsmomente
• 2.3.3.1. Schiefe
• 2.3.3.2. Kurtosis
• 2.3.4. Definition des kohärenten Risikos
• 2.3.4.1. Einführung
• 2.3.4.2. Bewertung des Value at Risks und der Varianz
• 2.3.5. Expected Shortfall
• 2.4. Abbildung der Abhängigkeitsstruktur
• 2.4.1. Einleitung
• 2.4.2. Lineare Korrelation
• 2.4.2.1. Das Konzept
• 2.4.2.2. Nachteile
• 2.4.3. Autokorrelation
• 2.4.3.1. Einführung
• 2.4.3.2. Umgang mit Autokorrelation
• 2.4.4. Rangkorrelation
• 2.4.4.1. Spearman's Rho
• 2.4.4.2. Kendall's Tau
• 2.4.5. Tail Dependence
• 2.4.6. Bewertung von Abhängigkeitskonzepten
• 2.5. Portfoliooptimierung
• 2.5.1. Einleitung
• 2.5.2. Portfolio Selection
• 2.5.2.1. Einführung
• 2.5.2.2. Kritik am Mean-Variance-Ansatz
• 2.5.3. Weitere Ansätze zur Portfoliooptimierung
• 2.5.3.1. Ansätze basierend auf zwei Verteilungsparametern
• 2.5.3.1.1. Black-Litterman Modell
• 2.5.3.1.2. Resampled Mean-Variance Optimization
• 2.5.3.2. Ansätze basierend auf vier Verteilungsmomenten
• 2.5.3.2.1. Allgemein
• 2.5.3.2.2. Polynomial Goal Programming
• 3. Portfoliooptimierung mithilfe von Kopulas
• 3.1. Das Konzept der Kopulas
• 3.1.1. Einführung
• 3.1.2. Subkopulas
• 3.1.2.1. Groundedness
• 3.1.2.2. 2-increasing
• 3.1.3. Kopulas
• 3.1.4. Mathematische Eigenschaften
• 3.1.4.1. Verteilung
• 3.1.4.2. Satz von Sklar
• 3.1.4.3. Transformationsinvarianz
• 3.1.5. Spezialkopulas
• 3.1.5.1. Fréchet-Hoeffding-Grenzen
• 3.1.5.2. Produktkopula
• 3.1.6. Ausgewählte bivariate Kopulafunktionen
• 3.1.6.1. Parametrische Kopulas
• 3.1.6.1.1. Einführung
• 3.1.6.1.2. Normalkopula
• 3.1.6.1.3. Student-t-Kopula
• 3.1.6.2. Nicht-parametrische Kopulas
• 3.1.6.2.1. Einleitung
• 3.1.6.2.2. Frank-Kopula
• 3.1.6.2.3. Clayton-Kopula
• 3.1.6.2.4. Gumbel-Kopula
• 3.2. Korrelationskoeffizienten im Kontext der Kopulas
• 3.2.1. Einführung
• 3.2.2. Spearman's Rho
• 3.2.3. Kendall's Tau
• 3.2.4. Lineare Korrelation
• 3.2.5. Tail Dependence
• 3.3. Schätzung von Kopulaparametern
• 3.3.1. Einführung
• 3.3.2. Exact Maximum Likelihood-Methode
• 3.3.3. Inference Functions for Margins-Methode
• 3.3.4. Canonical Maximum Likelihood-Methode
• 3.3.5. Nicht-parametrische Schätzungen von empirischen Kopulas
• 3.4. Goodness-of-Fit-Tests
• 3.5. Vorgehensweise bei der Simulation von Datenreihen
• 3.5.1. Einleitung
• 3.5.2. Normalkopula
• 3.5.3. Student-t-Kopula
• 3.5.4. Allgemeine Methode
• 3.6. Portfoliooptimierung mit Kopulas
• 4. Empirische Anwendung ausgewählter Kopulas
• 4.1. Einführung
• 4.2. Datenanalyse
• 4.2.1. Analyse der Verteilungsparameter
• 4.2.2. Test auf Normalverteilung
• 4.2.3. Test auf Autokorrelation
• 4.2.4. Empirische Korrelationskoeffizienten
• 4.3. Parameterschätzung
• 4.4. Goodness-of-Fit Überprüfung
• 4.5. Berechnung der Effizienzlinien
• 4.5.1. Vorgehen
• 4.5.2. Ergebnisse

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Portfoliooptimierung und analysiert die Möglichkeiten zur Abbildung der Abhängigkeitsstruktur von verschiedenen Assetklassen durch die Verwendung von Kopulas. Ziel ist es, die traditionellen Ansätze der Portfoliooptimierung, die oft auf der Annahme der Normalverteilung und der linearen Korrelation basieren, zu erweitern und zu verbessern.

• Die Rolle von Abhängigkeitsstrukturen in der Portfoliooptimierung
• Die Verwendung von Kopulas zur Modellierung von Abhängigkeiten
• Die Schätzung von Kopulaparametern und die Überprüfung der Modellgüte
• Die Anwendung von Kopulas in der Portfoliooptimierung
• Die empirische Analyse von ausgewählten Kopulas

Zusammenfassung der Kapitel

Kapitel 1 führt in die Problemstellung der Arbeit ein und beschreibt die Herausforderungen der traditionellen Portfoliooptimierung bei der Berücksichtigung von Abhängigkeitsstrukturen und alternativen Investments. Kapitel 2 erläutert die Grundlagen der Portfoliooptimierung, einschließlich Ertragsmessung, Risikomessung und verschiedener Ansätze zur Abbildung der Abhängigkeitsstruktur. Kapitel 3 stellt das Konzept der Kopulas vor, inklusive deren mathematischer Eigenschaften und ausgewählter bivariater Kopulafunktionen. Zudem werden Methoden zur Schätzung von Kopulaparametern und die Überprüfung der Modellgüte behandelt. Kapitel 4 präsentiert eine empirische Anwendung ausgewählter Kopulas an Hand realer Daten. Die Analyse umfasst die Untersuchung der Verteilungsparameter, die Parameterschätzung und die Berechnung von Effizienzlinien.

Schlüsselwörter

Portfoliooptimierung, Abhängigkeitsstruktur, Kopulas, Schätzung von Parametern, empirische Anwendung, alternative Investments, Risikomessung, Value at Risk, Expected Shortfall, lineare Korrelation, Tail Dependence, Normalverteilung, Student-t-Verteilung

Häufig gestellte Fragen

Was sind Kopulas in der Finanzmathematik?

Kopulas sind mathematische Funktionen, die es ermöglichen, die Abhängigkeitsstruktur zwischen verschiedenen Variablen (z. B. Finanzwerten) von ihren individuellen Randverteilungen zu trennen.

Warum ist die lineare Korrelation oft nicht ausreichend?

Die lineare Korrelation misst nur die absolute Stärke einer Abhängigkeit, kann aber komplexe Strukturen wie "Tail Dependence" (Abhängigkeit bei extremen Ereignissen) nicht korrekt abbilden.

Was versteht man unter dem "Expected Shortfall"?

Der Expected Shortfall (oder Conditional Value at Risk) ist ein kohärentes Risikomaß, das den erwarteten Verlust in jenen Fällen angibt, in denen der Value at Risk überschritten wird.

Welche Arten von Kopulas werden in der Arbeit behandelt?

Es werden unter anderem parametrische Kopulas (Normal- und Student-t-Kopula) sowie archimedische Kopulas (Frank-, Clayton- und Gumbel-Kopula) untersucht.

Was ist das Ziel der Portfoliooptimierung mit Kopulas?

Das Ziel ist eine realistischere Asset Allokation, die auch extreme Marktereignisse und nicht-lineare Abhängigkeiten berücksichtigt, um robustere Portfolios zu erstellen.