Graphenfärbung mit Hilfe linearer Programmierung

Inhaltsverzeichnis

• 1 Einleitung
  • 1.1 Überblick
  • 1.2 Notation
• 2 Auftretende Optimierungsprobleme
  • 2.1 Einführung
  • 2.2 Kontinuierliche und ganzzahlige lineare Programme
    • 2.2.1 Einführung
    • 2.2.2 Branch & Bound
    • 2.2.3 Der Simplexalgorithmus
    • 2.2.4 Spaltenerzeugung
  • 2.3 Das gewichtete Unabhängige-Mengen-Problem
    • 2.3.1 Beschreibung
    • 2.3.2 Heuristischer Lösungsansatz
    • 2.3.3 Exakte Lösung
  • 2.4 Das gewichtete Cliquen-Problem
    • 2.4.1 Beschreibung
    • 2.4.2 Heuristischer Lösungsansatz
    • 2.4.3 Exakte Lösung
  • 2.5 Das ungewichtete Cliquen-Problem
    • 2.5.1 Beschreibung
    • 2.5.2 Heuristischer Lösungsansatz
    • 2.5.3 Exakte Lösung
  • 2.6 Das gewichtete Knotenüberdeckungsproblem
    • 2.6.1 Beschreibung
    • 2.6.2 Heuristischer Lösungsansatz
• 3 Das Graphenfärbungsproblem
  • 3.1 Einführung
  • 3.2 Problemformulierungen
  • 3.3 Exakte Lösung
  • 3.4 Problemreduzierung
  • 3.5 Heuristischer Lösungsansatz
    • 3.5.1 DSATUR
    • 3.5.2 LP-COLOR
• 4 Implementierung
  • 4.1 Details
    • 4.1.1 Struktur
    • 4.1.2 WISP
    • 4.1.3 VCP
  • 4.2 Tests
    • 4.2.1 Testgraphen
    • 4.2.2 Testergebnisse
• 5 Abschließendes
• A Quellcode

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Diplomarbeit untersucht die Anwendung linearer Programmierung zur Lösung des Graphenfärbungsproblems. Ziel ist es, verschiedene Lösungsansätze, sowohl exakte als auch heuristische Verfahren, zu analysieren und zu vergleichen. Die Arbeit befasst sich mit der Modellierung des Problems und der Implementierung der Algorithmen.

• Modellierung des Graphenfärbungsproblems als lineares Programm
• Vergleich verschiedener Lösungsverfahren für lineare Programme
• Entwicklung und Implementierung heuristischer Algorithmen
• Analyse der Effizienz der implementierten Algorithmen
• Bewertung der Ergebnisse und Schlussfolgerungen

Zusammenfassung der Kapitel

1 Einleitung: Dieses Kapitel liefert einen Überblick über die Arbeit und die verwendete Notation. Es führt in die Thematik der Graphenfärbung und deren Bedeutung ein und legt den Grundstein für die folgenden Kapitel.

2 Auftretende Optimierungsprobleme: Dieses Kapitel beschreibt verschiedene Optimierungsprobleme, die im Zusammenhang mit dem Graphenfärbungsproblem relevant sind, wie das gewichtete Unabhängige-Mengen-Problem, das gewichtete und ungewichtete Cliquen-Problem sowie das gewichtete Knotenüberdeckungsproblem. Es werden sowohl exakte als auch heuristische Lösungsansätze für jedes Problem vorgestellt und detailliert erläutert. Die Kapitelteile befassen sich mit der mathematischen Formulierung der Probleme und der Anwendung von Methoden wie Branch & Bound und dem Simplexalgorithmus. Der Schwerpunkt liegt auf der Darstellung der Zusammenhänge zwischen diesen Problemen und dem Graphenfärbungsproblem, welche die Grundlage für die Entwicklung und Bewertung der Lösungsstrategien bilden.

3 Das Graphenfärbungsproblem: Dieses Kapitel konzentriert sich auf das Graphenfärbungsproblem selbst. Es werden verschiedene Formulierungen des Problems vorgestellt, einschließlich exakter Lösungsansätze und heuristischer Strategien wie DSATUR und LP-COLOR. Das Kapitel analysiert die Vor- und Nachteile der unterschiedlichen Ansätze und beleuchtet deren Eignung für verschiedene Graphenstrukturen. Die Problemreduzierung wird als Methode zur Vereinfachung des Problems vor der Anwendung der eigentlichen Färbealgorithmen besprochen.

4 Implementierung: Dieses Kapitel beschreibt die Implementierung der in den vorherigen Kapiteln vorgestellten Algorithmen. Es wird die Struktur des implementierten Systems detailliert erläutert, inklusive der verwendeten Datenstrukturen und der Implementierung der einzelnen Algorithmen für WISP und VCP. Der Abschnitt über Tests beschreibt die verwendeten Testgraphen und die erzielten Ergebnisse, die eine Bewertung der Effizienz der Algorithmen ermöglichen.

Schlüsselwörter

Graphenfärbung, Lineare Programmierung, Optimierungsprobleme, Heuristische Algorithmen, Exakte Algorithmen, DSATUR, LP-COLOR, Unabhängige Mengen, Cliquen, Knotenüberdeckung, Implementierung, Testgraphen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist das Ziel dieser Arbeit über Graphenfärbung?

Das Ziel dieser Diplomarbeit ist die Untersuchung der Anwendung linearer Programmierung zur Lösung des Graphenfärbungsproblems. Die Arbeit analysiert und vergleicht verschiedene Lösungsansätze, sowohl exakte als auch heuristische Verfahren, und befasst sich mit der Modellierung des Problems und der Implementierung der Algorithmen.

Welche Optimierungsprobleme werden in dieser Arbeit behandelt?

Die Arbeit behandelt verschiedene Optimierungsprobleme, die im Zusammenhang mit dem Graphenfärbungsproblem relevant sind, darunter das gewichtete Unabhängige-Mengen-Problem (WISP), das gewichtete und ungewichtete Cliquen-Problem sowie das gewichtete Knotenüberdeckungsproblem (VCP).

Welche Lösungsansätze werden für die Optimierungsprobleme untersucht?

Für die Optimierungsprobleme werden sowohl exakte als auch heuristische Lösungsansätze untersucht. Zu den exakten Methoden gehören beispielsweise Branch & Bound und der Simplexalgorithmus. Bei den heuristischen Ansätzen werden problemspezifische Heuristiken betrachtet.

Was ist das Graphenfärbungsproblem und welche Lösungsstrategien werden dafür betrachtet?

Das Graphenfärbungsproblem befasst sich mit der Zuweisung von Farben zu den Knoten eines Graphen, sodass keine zwei benachbarten Knoten dieselbe Farbe haben. Die Arbeit untersucht verschiedene Formulierungen des Problems, exakte Lösungsansätze und heuristische Strategien wie DSATUR und LP-COLOR.

Was sind DSATUR und LP-COLOR?

DSATUR und LP-COLOR sind heuristische Algorithmen zur Lösung des Graphenfärbungsproblems. DSATUR (Degree of Saturation) wählt den Knoten mit dem höchsten Sättigungsgrad (Anzahl der bereits verwendeten Farben in der Nachbarschaft) zur Färbung aus. LP-COLOR basiert auf der Lösung eines linearen Programms und der anschließenden Rundung der erhaltenen fraktionalen Lösung.

Wie werden die Algorithmen in dieser Arbeit implementiert und getestet?

Die Implementierung der Algorithmen wird detailliert beschrieben, inklusive der verwendeten Datenstrukturen und der Implementierung der einzelnen Algorithmen für WISP und VCP. Die Tests umfassen die Verwendung verschiedener Testgraphen und die Analyse der erzielten Ergebnisse zur Bewertung der Effizienz der Algorithmen.

Welche Schlüsselwörter sind für diese Arbeit relevant?

Relevante Schlüsselwörter sind: Graphenfärbung, Lineare Programmierung, Optimierungsprobleme, Heuristische Algorithmen, Exakte Algorithmen, DSATUR, LP-COLOR, Unabhängige Mengen, Cliquen, Knotenüberdeckung, Implementierung, Testgraphen.