Abkürzungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1 „Wir haben ein Baumdiagramm erschaffen“
2 Kombinatorik - ein Thema für die Grundschule?
2.1 Gründe für die Integration kombinatorischer Aufgaben in den Mathematikunterricht der Grundschule
2.2 Curriculare Einordnung des Themas
3 Fachwissenschaftliche und fachdidaktische Grundlagen zu kombinatorischen Aufgaben
3.1 Fragestellungen und Aufgabentypen der Kombinatorik
3.2 Der kombinatorische Aspekt der Multiplikation und die Produktregel
3.3 Lösungswege zu kombinatorischen Aufgaben
3.3.1 Darstellungsebenen nach Bruner
3.3.2 Ermöglichung und Reflexion vielfältiger Lösungswege
3.3.3 Ausgewählte Beispiele für Lösungswege
3.3.3.1 Das systematische Auflisten
3.3.3.2 Die Tabellenform
3.3.3.3 Das Baumdiagramm
3.4 Umsetzung fachwissenschaftlicher Aspekte in der Grundschulmathematik
4 Entwurf der Unterrichtsreihe „Eine mathematische Reise durch den Zoo“
4.1 Überblick über die gesamte Unterrichtsreihe
4.1.1 Lernziele der Unterrichtsreihe
4.1.2 Spezifische Ziele und Themen der einzelnen Unterrichts- stunden
4.2 Ausführlicher Entwurf zur Unterrichtseinheit „Einführung zu verschiedenen Lösungswegen kombinatorischer Aufgaben“
4.2.1 Einordnung in den Zusammenhang der Unterrichtsreihe
4.2.2 Didaktisch-methodisch orientierte Sachanalyse
4.2.3 Didaktisch-methodische Überlegungen zum geplanten Verlauf
5 Praktische Umsetzung der Unterrichtsreihe „Eine mathematische Reise durch den Zoo“
5.1 Spezifische Lernsituation in der Praktikumsklasse
5.2 Dokumentation der realisierten Unterrichtsstunden
5.3 Darstellung und Analyse ausgewählter Schülerbeiträge und -arbeiten
6 Resümee
Literatur- und Quellenverzeichnis
Anhang
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb. 1: Lösung einer kombinatorischen Aufgabe mithilfe der Tabellenform
Abb. 2: Beispiel eines Baumdiagramms
Abb. 3: Schülerideen zur Erweiterung des Baumdiagramms
Tab. 1: Systematisches Auflisten bei einer Aufgabe zur Kombination ohne Wiederholung
Tab. 2: Stufen der kombinatorischen Problemlösekompetenz
Tab. 3: Stundenthemen und -ziele der gesamten Unterrichtsreihe
Wie Schüler ihren eigenen Lösungsweg in schriftlicher Form beschreiben, lässt Lehrer stau- nen und manchmal auch etwas schmunzeln. Einige „erschaffen Baumdiagramme“, andere „denken logisch nach“ und wiederum andere „legen Eissorten auf Waffeln und Becher“.1
Damit Schüler Baumdiagramme „erschaffen“ konnten, setzte sich die Verfasserin mit den fachwissenschaftlichen und fachdidaktischen Aspekten der Kombinatorik auseinander. Viele Ideen wurden entwickelt, zahlreiche Anschauungsmittel gezeichnet und gebastelt sowie Ar- beitsmaterialien konzipiert. Die Schüler der Klasse 4c der Grundschule A in B benötigten schließlich sieben Unterrichtsstunden, um mit viel Freude am Lernen beinahe wie selbstver- ständlich kombinatorische Aufgaben zu lösen und dafür u.a. Baumdiagramme zu zeichnen.
Die vorliegende Arbeit zeigt die Konzeption sowie Umsetzung einer Unterrichtsreihe für die vierte Klassenstufe zu kombinatorischen Aufgaben im Allgemeinen und der Erarbeitung ver- schiedener Lösungswege im Speziellen. Vorkenntnisse zu kombinatorischen Aufgaben wer- den nicht vorausgesetzt. Sie sind aber durch den Einbezug des kombinatorischen Aspektes der Multiplikation bei der Erarbeitung dieser Operation in der zweiten Klassenstufe möglich.
Kombinatorik wird oft als „Rückgrat der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung“ (FREUDENTHAL, 1973: 540) bezeichnet und hat in diesem Rahmen die Funktion einer Hilfswissenschaft, da sie mit ihren Zählregeln geeignete Hilfsmittel bereit stellt (vgl. KÜTTING, 1994: 182). Die hier präsentierte Unterrichtsreihe thematisiert, unabhängig von Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, kombinatorische Aufgaben und ihre Leitfragen. Allerdings würde sich eine darauf aufbauende Behandlung von Grundbegriffen, wie „Wahrscheinlichkeit“ und „Zufall“, sicherlich auch anbieten.
Ein Unterrichtsentwurf sollte grundsätzlich unter Berücksichtigung der spezifischen Lernsitu- ationen in einer Klasse erfolgen (vgl. HECKMANN, PADBERG, 2008: 66). Durch die zeitli- chen Rahmenbedingungen der Erstellung dieser Arbeit war dies jedoch nicht möglich. Die Konzeption musste unabhängig von einer bestimmten Lerngruppe erfolgen. Die praktische Erprobung fand im Rahmen eines zweiwöchigen Praktikums an der Grundschule A im direk- ten Anschluss an die Vorlesungszeit des Wintersemesters 2010 / 2011 in einer zuvor unbe- kannten Klasse statt. Es wurde daher versucht, das Unterrichtskonzept in der praktischen Realisierung flexibel anzupassen und die spezifischen Bedingungen der Praktikumsklasse einzubeziehen. Die erfolgten Änderungen werden in der sich dem Unterrichtsentwurf an- schließenden Praxisreflexion dargestellt. Der Konzeption liegen sowohl durch den Ort der Ausbildungsstätte der Universität Erfurt der Lehrplan Thüringens als auch durch den Ort der Praktikumsschule der Lehrplan des Landes Brandenburg zu Grunde.
Schüler der Oberstufe haben relativ viele Schwierigkeiten in der Bewältigung kombinatori- scher Aufgaben. Dies betrifft vor allem die Mathematisierung2 kombinatorischer Probleme. Ursachen dafür liegen vor allem in der Vielfältigkeit der möglichen Verkörperungen ein und desselben Schemas und darin, diese gleichgestaltigen Verkörperungen als solche zu erken- nen. (vgl. FREUDENTHAL, 1973: 540; GRÜNEWALD, 1991: 607; NEUBERT, 1998: 17) Das vollständige Verstehen kombinatorischer Situationen bedarf viel Zeit. Daher sollte frühzeitig im Sinne des Spiralprinzips3 mit der Behandlung begonnen und in der Grundschule Grundla- gen geschaffen werden. (vgl. NEUBERT, 2001: 52; NEUBERT, 2003: 89)
Diverse inhaltsbezogene Ziele des Mathematikunterrichts der Grundschule können durch die Auseinandersetzung mit kombinatorischen Fragen gefördert werden. So berühren diese Auf- gaben auch einige Bereiche des „traditionellen“ Arithmetikunterrichts. Das Rechnen mit na- türlichen Zahlen sowie die Arbeit mit endlichen Mengen werden unterstützt. (vgl. GRÜNE- WALD, 1986: 4) Zudem ist der kombinatorische Aspekt der Multiplikation als ein Weg zur Förderung multiplikativer Vorstellungen hervorzuheben (siehe Kapitel 3.2, S. 5f).
Darüber hinaus fördern und fordern kombinatorische Aufgaben allgemeine mathematische Kompetenzen, wie Problemlösen, Kommunizieren, Argumentieren und strategisches Denken (vgl. MOGK, 2008: 13; RADATZ, RICKMEYER, 1996: 68). Die Schüler müssen sich mithilfe von heuristischen Verfahren mit unbekannten Aufgabenformen auseinandersetzen, Analo- gien erkennen und verschiedene Darstellungsvarianten nutzen. Letztere ermöglichen wiede- rum die Begründung der Lösungsansätze (vgl. GRÜNEWALD, 1986: 3). Außerdem zeigt die Bearbeitung kombinatorischer Aufgaben, dass das Erkennen von Mustern und Strukturen eine typische Arbeitsweise der Mathematik ist. D.h. die Schüler erlangen bereits früh die Er- kenntnis, dass verschiedenen Problemen die gleichen formalen Strukturen zu Grunde liegen und durch das gleiche Modell beschrieben werden können (vgl. Z-MNU, 2004: 11).
Im Hinblick auf die unterrichtliche Umsetzung dieses Themas können gerade kombinatorische Problemstellungen oft anschaulich vermittelt werden. Häufig ist mit ihnen die Aufforderung verbunden, eine spielerische, zeichnerische oder auch rein symbolische Lösung bzw. Darstellung zu finden. Durch diese Lösungsvarianten mit unterschiedlichen Anspruchsniveaus ergeben sich wiederum Möglichkeiten zur inneren Differenzierung. (vgl. RADATZ, RICKMEYER, 1996: 68; Z-MNU, 2004: 11) Nicht zuletzt entstammen kombinatorische Zählprobleme der Lebenswelt der Kinder und tragen zudem zur weiteren Umwelterschließung bei. (vgl. MOGK, 2008: 13; NEUBERT, 2003: 89)
Im Jahr 2004 veröffentlichte die Kultusministerkonferenz (KMK) die Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich und führte die Leitidee „Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit“ ein (vgl. KAUFMANN, 2010a: 4).
Im Thüringer Lehrplan für Grund- und Förderschulen für das Fach Mathematik werden kom- binatorische Aufgaben dem Lernbereich Arithmetik und dem dazugehörigen Themenfeld „In Kontexten rechnen“4 zugeschrieben. Bis zum Ende der zweiten Klassenstufe sollen die Schüler „einfache kombinatorische Aufgaben (…) durch Probieren lösen“ (TMBWK, 2010: 13). Die Schüler der dritten bzw. vierten Klasse sollen dagegen schon „durch systematisches Vorgehen auch unter Nutzung geeigneter Darstellungen [kombinatorische Aufgaben] lö- sen“ (TMBWK, 2010: 13).
Der Brandenburger Rahmenlehrplan für die Grundschule für das Fach Mathematik ordnet diese Aufgaben dem Themenfeld „Daten und Zufall“ zu. Hier wird, im Gegensatz zum Thü- ringer Lehrplan, nicht zwischen den Herangehensweisen innerhalb der einzelnen Klassen- stufen differenziert. Es wird lediglich auf alle Stufen bezogen beschrieben, dass „die Schüle- rinnen und Schüler (…) Fähigkeiten zur Ausführung systematischer Probierverfahren für das Auffinden von Möglichkeiten [erwerben] und (…) dazu hilfreiche Darstellungsweisen ken- nen[lernen].“ (MBJS et.al., 2004: 30) Sehr allgemein wird zwischen dem Schwierigkeitsgrad der Aufgaben unterschieden, die die Schüler bis zum Ende der vierten (einfache kombinato- rische Aufgaben) bzw. bis zum Ende der sechsten Klasse5 (kombinatorische Aufgaben) be- arbeitet haben sollen (vgl. MBJS et.al., 2004: 21f).
Neben den inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen greifen die Lehrpläne beider Länder auch allgemeine mathematische Kompetenzen, wie das Problemlösen, Kommunizieren, Argumentieren und Darstellen, auf.6 Diese sind auch für die Bearbeitung kombinatorischer Aufgaben relevant und wurden durch die Bildungsstandards in dieser Form eingeführt. Im Thüringer Lehrplan erfolgt die Integration dieser allgemeinen mathematischen Kompetenzen noch etwas detaillierter als im Brandenburger Lehrplan.7
Die Kombinatorik wird auch als mathematische Disziplin bezeichnet, die „zählt, ohne zu zählen“ (DAVIS, HERSH, 1994: 439). Die Zählprozesse beziehen sich auf die zwei zentralen Fragestellungen, mit der sich die Kombinatorik beschäftigt: „ ‚Welche Möglichkeiten gibt es, Elemente einer endlichen Menge nach bestimmten Bedingungen anzuordnen oder auszuwählen?‘ (…) [und] ‚Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür insgesamt?' “ (DRAGON, ZILLMER, 2008a: 51) Anstelle eines mühsamen und unübersichtlichen Stück-für-Stück-Zählens werden dabei ökonomische Zählstrategien angewandt. Diese beruhen darauf, dass eine vorhandene Struktur des zu zählenden Bereichs genutzt oder eine geeignete Strukturierung vorgenommen wird.8 (vgl. MÜLLER, WITTMANN, 1984: 219)
Bei kombinatorischen Aufgaben muss grundsätzlich unterschieden werden, ob im Entscheidungsprozess auf jeder Stufe aus einer anderen oder aus derselben Grundmenge ausgewählt wird (zum ersten Fall siehe Kapitel 3.2, Abschnitt zum kartesischen Produkt, Seite 5f). (vgl. SELTER, SPIEGEL, 2005: 292)
Im zweiten Fall der Auswahl aus derselben Grundmenge existieren verschiedene Aufgaben- typen. Diese werden auch als „kombinatorische Figuren“ (KÜTTING, SAUER, 2008: 83) oder „Situationstypen“ (SELTER, SPIEGEL, 2005: 291) bezeichnet. Dabei wird unterschieden, ob die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt wird (geordnete Stichprobe) oder nicht (unge- ordnete Stichprobe), und ob ein Element einmal (ohne Wiederholung) oder mehrmals (mit Wiederholung) ausgewählt werden darf. (vgl. FAST, 2008: 8; KAUFMANN, 2010b: 7)
Bei Kombinationen und Variationen wird die Frage gestellt, „wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn k Elemente aus n Elementen zusammengestellt werden. Zusammenstellungen von Elementen, bei denen die Reihenfolge irrelevant ist, heißen Kombinationen; solche bei de- nen es auf die Reihenfolge der Elemente ankommt, heißen Variationen.“ (FAST, 2008: 8) Bei Permutationen stehen Überlegungen im Vordergrund, wie viele Möglichkeiten es gibt, n verschiedene Dinge der Reihe nach zu ordnen (vgl. FAST, 2008: 8). Somit ergeben sich Permutationen als Sonderfall von Variationen, bei denen es genauso viele Auswahlen wie Elemente gibt (vgl. PANKNIN, 1974: 57). In Anlage 1 (Seite XIff) werden diese Aufgabenty- pen noch näher bestimmt.
Der Multiplikation wohnen verschiedene Grundvorstellungen inne: der zeitlich-sukzessive9, der räumlich-simultane10 und der kombinatorische Aspekt. Letzterer bezieht sich auf das kar- tesische Produkt zwischen den Elementen zweier Mengen, auch Kreuzprodukt genannt. (vgl. GRASSMANN, 2010: 37; KRAUTHAUSEN, SCHERER, 2008: 29; RADATZ (et.al.), 1998: 82f) Eine mögliche Frage könnte z.B. lauten: Wie viele Möglichkeiten gibt es, sich bei einer Auswahl von zwei Hosen und vier Oberteilen unterschiedlich anzuziehen? Für die Be- antwortung ist die Einsicht erforderlich, dass es darum geht, jedes Element der ersten Men- ge mit jedem Element der zweiten Menge zu verknüpfen.11 (vgl. GRASSMANN, 2010: 37)
Der kombinatorische Aspekt ist nicht unbedingt geeignet, um die Multiplikation einzuführen (vgl. KRAUTHAUSEN, SCHERER, 2008: 30; PADBERG, 2005: 122). So steht bei kombina- torischen Aufgaben beispielweise der Anknüpfungspunkt zu Formulierungen nicht zur Verfü- gung, die in der Alltagssprache verwendet werden, wie „zweimal“ oder „dreimal“. Auch ist der Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division als Umkehroperationen schwer herzu- stellen und dieser Aspekt insgesamt schwerer zu veranschaulichen. (vgl. PADBERG, 2005: 121) Nichtsdestotrotz ist auch der kombinatorische Aspekt wichtig, um die Rechenoperation der Multiplikation zu festigen, die Vorstellungen der Kinder zu erweitern und ihnen Zugang zu weiteren Anwendungssituationen zu ermöglichen. (vgl. GRASSMANN, 2000: 23; JUNG, NEUBERT, TOLLE, 2000: 21)
Der im kombinatorischen Aspekt der Multiplikation enthaltene mathematische Hintergrund in Form des kartesischen Produkts zweier Mengen lässt sich auch auf das kartesische Pro- dukt beliebig vieler Mengen verallgemeinern. Dies geschieht mit der Produktregel, die auch „Allgemeines Zählprinzip der Kombinatorik“, „Fundamentalprinzip des Zählens“ oder „Multiplikationsregel der Kombinatorik“ genannt wird (vgl. KÜTTING, SAUER, 2008: 83):
„ Durchläuft man einen k-stufigen Entscheidungsprozess, in dem man auf der 1. Stufe n 1 , auf der 2. Stufe n 2 , auf der dritten Stufe n 3 Möglichkeiten, … und schlie ß lich auf der k-ten Stufe n k M ö glichkeiten hat, so ergeben sich
n 1 n 2 n 3 … n k
Möglichkeiten, den gesamten Entscheidungsprozess zu durchlaufen. “
(SELTER, SPIEGEL, 2005: 292, Hervorhebungen im Original)
Somit könnte die auf Seite 5 genannte Beispielaufgabe erweitert und mithilfe der Produktregel gelöst werden: Wie viele Möglichkeiten gibt es, sich bei einer Auswahl von zwei Hosen, vier Oberteilen und drei Paar Schuhen unterschiedlich anzuziehen?12
Auf welche weiteren kombinatorischen Aufgabentypen sich die Produktregel anwenden lässt, ist in der Literatur nicht eindeutig geklärt. KÜTTING und SAUER sowie HENZE nutzen sie in Verbindung mit Aufgaben vom Typ Permutation und Kombination, begründen dies aber nicht (vgl. KÜTTING, SAUER, 2008: 83ff; HENZE, 2010: 54ff). In dieser Arbeit wird der Auffas- sung anderer Autoren gefolgt, die dem Verständnis der Verfasserin zur Produktregel und den Aufgabentypen eher entspricht. Danach ist die Produktregel vor allem als Zugangsweg für Variations- sowie Permutationsaufgaben geeignet. Bei Aufgaben vom Typ Kombination wür- den mithilfe der Produktregel Möglichkeiten mit gleichen Elementen, aber unterschiedlicher Reihenfolge, als verschiedene Möglichkeiten gezählt. Die Reihenfolge spielt bei Kombinati- onsaufgaben aber keine Rolle. (vgl. KAUFMANN, 2010b: 7f; Z-MNU, 2004: 7)
Der Grundansatz von Jerome Seymour Bruner bezieht sich darauf, dass Kinder auf jeder Entwicklungsstufe auf eine charakteristische Art und Weise die Welt betrachten und für sich selbst erklären (vgl. LAUTER, 1991: 21). Dies erfolgt auf drei verschiedenen Darstellungs- ebenen13, die nach Bruner grundlegend für den Aufbau kognitiver Systeme beim Kind sind:
- Enaktive (handelnde) Darstellung: Sachverhalte werden durch eigene Handlungen mit konkretem Material erfasst.
- Ikonische (bildliche) Darstellung: Sachverhalte werden durch Bilder oder Grafiken erfasst. Bilder meinen dabei auch „innere Bilder“, also anschauliche Vorstellungen.
- Symbolische Darstellung: Sachverhalte werden durch Symbole, wie mathemati- sche Zeichen, erfasst. Auch die Sprache gehört zu den Symbolen.
(vgl. LAUTER, 1991: 22; ZECH, 2002: 22, 104)
Im Laufe der kognitiven Entwicklung ergeben sich zwischen diesen Bereichen Akzentver- schiebungen. Zunächst dominiert die enaktive Darstellungsform. Später nehmen die ikoni- sche und schließlich die symbolische an Bedeutung zu. (vgl. LAUTER, 1991: 22) „Erst der Ausbau des Symbolsystems macht den Menschen fähig, seine Umwelt zu ordnen und dadurch leichter zu erfassen, einzuprägen und zu gestalten.“ (SCHRÖTER, 1985: 423) Da- bei lösen sich die einzelnen Bereiche innerhalb des Entwicklungsprozesses nicht ab. Viel- mehr erfolgt eine immer besser werdende Koordination zwischen den Darstellungsebenen. (vgl. ZECH, 2002: 105)
Überträgt man Bruners Theorie auf die Unterrichtsgestaltung, sollten die Inhalte auf möglichst allen Ebenen erschlossen und Übergänge zwischen ihnen genutzt werden. Die Darstellungsebenen werden somit zum didaktischen Prinzip. Besonders im Mathematikunterricht der Grundschule ist es wichtig, mathematische Konzepte basierend auf konkretem Handeln aufzubauen.14 Aber auch wenn Schüler Einsichten auf der abstrakt-symbolischen Ebene entwickeln, kann der Bezug zur enaktiven und ikonischen Ebene hilfreich sein. (vgl. LAUTER, 1991: 22; Z-MNU, 2004: 5) Insgesamt ermöglicht die Arbeit auf den unterschiedlichen Ebenen eine qualitative innere Differenzierung (vgl. HOFFMANN, 2003: 61).
Für kombinatorische Aufgaben ergeben sich vielfältige Zugangswege, die die Arbeit auf un- terschiedlichen Darstellungsebenen erlauben. Auf der enaktiven Ebene bietet sich z.B. das Legen mit Material an. Dabei gilt das Probieren als „völlig legale mathematische Metho- de“ (DRAGON, ZILLMER, 2008a: 52). Darüber hinaus sollten die Schüler auch Lösungswe- ge kennenlernen, die ihnen die systematische Bearbeitung kombinatorischer Aufgaben ge- statten, wie das systematische Auflisten, die Tabelle oder das Baumdiagramm (siehe Kapitel 3.3.3).15 Dabei können in diesen Lösungshilfen Anfangsbuchstaben oder Zahlen symbolisch für die jeweiligen Sachverhalte stehen. Es können aber auch Wörter oder auf der ikonischen Darstellungsebene Abbildungen genutzt werden. (vgl. DRAGON, ZILLMER, 2008a: 54; FAST, 2008: 8; KLUNTER, RAUDIES, 2010a: 36) Ist die Produktregel einmal erarbeitet, stellt sie einen weiteren möglichen Lösungsweg dar (vgl. NEUBERT, 2003: 97).
Bei der Erstbegegnung mit kombinatorischen Aufgaben ist es notwendig, dass die Schüler ihren eigenen Zugang und eigene Lösungsideen finden dürfen. Im Anschluss können die ge- nannten Standardverfahren ausgehend von den Schülerideen gemeinsam entwickelt werden. (vgl. GRASSMANN, 2000: 23) Auch bei der vertiefenden Arbeit sollte den Kindern frei ge- stellt werden, welchen Lösungsweg sie gehen wollen, um eine natürliche Differenzierung16 zu ermöglichen (vgl. MOGK, 2008: 13). LACK empfiehlt, dass es ihnen auch erlaubt sein sollte, die Aufgabe rein kognitiv zu bearbeiten und die Lösung verbal mitzuteilen oder zu no- tieren (vgl. LACK, 2008: 5). Wird das gedankliche Vorgehen aber durch die Schüler nicht ex- ternalisiert, ist es für Lehrer schwierig, Denkprozesse oder Fehler nachzuvollziehen.
Nicht nur die schriftliche Darstellung der Lösungswege sollte im Unterricht im Mittelpunkt stehen. Erst der Austausch über die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten macht den Schü- lern schließlich die Effektivität bzw. Ineffektivität ihres Vorgehens deutlich. Er fördert außer- dem die Fähigkeit, die angewandte Methode zu erfassen und auf andere Sachverhalte zu übertragen (vgl. KLUNTER, RAUDIES, 2010b: 32; LADEL, 2010: 16). Als einen wichtigen Aspekt der Öffnung des Unterrichts für die Ideen und das Wissen der Kinder sollen diese außerdem erleben, „dass ihre Vorschläge erwünscht und vielleicht sogar notwendig sind, um gemeinsam im Unterricht etwas zu erreichen“ (GRASSMANN, 2000: 23).
Dem systematischen Auflisten liegt das Prinzip der Strukturierung des zu zählenden Be- reichs einer kombinatorischen Aufgabe zu Grunde. Somit soll vermieden werden, Elemente zu vergessen oder doppelt zu zählen. Das folgende Verfahren wird als „Tachometerzählprin- zip“ (HOFFMANN, 2003: 44) bezeichnet: Bei diesem algorithmischen Verfahren wird ein Element solange wiederholt, bis alle unterschiedlichen Möglichkeiten mit genau diesem Ele- ment ausgeschöpft sind. Anschließend wird ein neues Element gewählt und das gleiche Ver- fahren angewandt (siehe Tabelle 1, Seite 9). Da sich die Elemente wie bei einem Tachome- ter ändern, ergibt sich der Name dieses Prinzips. (vgl. HOFFMANN, 2003: 44)
Tab. 1: Systematisches Auflisten bei einer Aufgabe zur Kombination ohne Wiederholung
(Aufgabe: Beim Mini-Lotto werden aus den Zahlen 1 bis 6 drei ausgew ä hlt)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: KAUFMANN, 2010b: 8.
Die Methode des systematischen Auflistens bietet sich vor allem bei Aufgaben zu Kombinationen an, da für diese das Baumdiagramm als Lösungshilfe nur bedingt geeignet ist (siehe Kapitel 3.3.3.3, Seite 10).
Eine Tabelle, in diesem Kontext auch „Matrix“ ge- nannt, ist vor allem als Lösungsweg für Aufgaben zum kartesischen Produkt zweier Mengen und somit zur Verdeutlichung des kombinatorischen Aspekts der Multiplikation geeignet. In der senkre- chen Achse werden die Elemente der einen Men- ge angeordnet, in der waagerechten die Elemente der anderen Menge (vgl. PADBERG, 2005: 121). Durch die Zuordnung der einzelnen Elemente er- geben sich schließlich alle Möglichkeiten (siehe Abbildung 1).
Abb. 1: Lösung einer kombinato- rischen Aufgabe mithilfe der Tabellenform
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: eigene Darstellung.
„Gleichzeitig lässt sich mittels dieser Tabelle der Zusammenhang dieses Ansatzes mit der Multiplikation als wiederholter Addition gleicher Summanden erarbeiten. Jede Zeile dieser Tabelle repräsentiert jeweils einen Summanden.“ (PADBERG, 2005: 121)
Ein Nachteil dieses Lösungswegs ist, dass sie nur für Aufgaben mit zweistufigen Entscheidungsprozessen anwendbar ist. Die Tabelle in Abbildung 1 könnte z. B. drei unterschiedliche Paar Schuhe als zusätzliche Entscheidungsstufe nicht repräsentieren. Dies erlaubt das im folgenden Kapitel dargestellte Baumdiagramm.
Bei der Erstellung eines Baumdiagramms wird in einzelnen Stufen vorgegangen. Auf jeder Stufe stellt sich die Frage, wie viele Entscheidungsmöglichkeiten es gibt (siehe Abbildung 2). Jedes Stockwerk des Baumes entspricht also einer Entscheidungsstufe, jede Astspitze einer Möglichkeit, den Entscheidungsbaum zu durchlaufen. (vgl. DRAGON, ZILLMER, 2008a: 53f; SELTER, SPIEGEL, 2005: 291)
Durch die visuelle Darstellung aller Mög- lichkeiten auf jeder Stufe des Entschei- dungsprozesses stellt das Baumdiagramm ein geeignetes Mittel dar, die Produktregel zu behandeln (vgl. NEUBERT, 2003: 96). Aber auch dieser Lösungsweg hat seine Grenzen. Aufgaben vom Typ kartesisches Produkt, Variation oder Permutation lassen sich mit dem Baumdiagramm systematisch umsetzen (siehe Anlage 1, Seite XI). Für Kombinationen bietet es sich aber nur be- dingt an, da beim Baumdiagramm die Rei- henfolge berücksichtigt wird. Dies ist aber bei dem Aufgabentyp Kombination nicht erwünscht. Die mehrfach auftretenden Kombinationen müssten aus dem Baumdiagramm wieder gestrichen werden. (vgl. DRAGON, ZILLMER, 2008b: M10)
Abb. 2: Beispiel eines Baumdiagramms (vertikal, Öffnung nach oben)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: eigene Darstellung.
In der Literatur lassen sich Baumdiagramme mit unterschiedlicher Ausrichtung finden (siehe Anlage 2, Seite XIV). Jede dieser Varianten hat in der unterrichtlichen Nutzung ihre Vor- und Nachteile. So entspricht beispielsweise die horizontale Ausrichtung am ehesten der Schreibrichtung der Kinder (vgl. DRAGON, ZILLMER, 2008a: 54). Die vertikale Ausrichtung mit der Öffnung nach unten wird von den meisten Autoren verwendet (siehe u.a. KLUNTER, RAUDIES, 2010a: 37ff; MÖLLER, WESSELING, 2008: 43; RATHGEB-SCHNIERER, 2001: 57). Die vertikale Ausrichtung mit der Öffnung nach oben passt wohl insgesamt am besten zum Bild eines Baumes, erfordert aber das schrittweise Erstellen von unten nach oben.
Im Mathematikunterricht der Grundschule wird das fachwissenschaftliche Verständnis von Kombinatorik nicht eins zu eins umgesetzt. Fachtermini, wie „Permutation“, „Variation“ oder „Kombination“, sowie Sätze und der in Anlage 1 (siehe Seite XI) aufgeführte Zugang über Formeln, werden nicht genutzt. Lehrer sollten allerdings dafür sorgen, dass sich die Schüler mit angemessenen Problemen aus den verschiedenen Bereichen auseinandersetzen. Auffal- lende Unterschiede zwischen den einzelnen Aufgabentypen können in diesem Rahmen auch erarbeitet werden. Insgesamt steht im Mittelpunkt, die Schüler unter Rückgriff auf bereits vorhandene Erfahrungen zum Nachdenken anzuregen und sie zum Lösen neuer Probleme zu befähigen. (vgl. KÜTTING, 1994: 137; PANKNIN, 1974: 10, 50; REITBERGER, 2007: 39) Für das Verstehen der Kinder müssen die Objekte keine mathematischen sein. Es stehen bei den Schülern eher konkrete Aufgaben für Dinge und Anzahlen. Dabei spielen strukturier- te Materialien eine besondere Rolle. (vgl. GRÜNEWALD, 1986: 6; HOFFMANN, 2003: 61; REITBERGER, 2007: 39)
Im Sinne einer Anbahnung korrekter fachlicher Vorstellungen bei den Schülern ist in diesem Rahmen noch die Problematik zu erwähnen, die mit der Verwendung des Begriffs „Kombina- tion“ zusammenhängt. Neben dem fachwissenschaftlichen Begriff, wie er in Kapitel 3.1 (sie- he Seite 4) als Auswahlproblem ohne Berücksichtigung der Reihenfolge definiert wurde, steht dieser Begriff auch für die allgemeinsprachliche Bedeutung von „Zusammenstel- lung“ oder „Verknüpfung“. Auch einige Fachdidaktiker nutzen ihn in diesem Sinn (siehe u.a. KRAUTHAUSEN, SCHERER, 2008: 29; HOFFMANN, 2003: 37; PADBERG, 2005: 21).
Die Verfasserin sieht in einer allzu häufigen Nutzung des allgemeinsprachlichen Begriffs „Kombination“ auch bei Aufgaben vom Typ Variation bzw. Permutation die Gefahr, dass die Schüler bei einer späteren Einführung der kombinatorischen Fachsprache mit Fehlvorstel- lungen umgehen müssen. Da den Grundschülern diese Diskrepanz durch die fehlende Kenntnis der Fachsprache allerdings nicht vermittelt werden kann, sollte das Problem nicht explizit thematisiert werden. Durch die verwendete Unterrichtssprache kann aber dennoch Einfluss genommen werden. Grundsätzlich wird daher in der hier vorgestellten Unterrichts- reihe vor allem der Begriff „Möglichkeit(en)“ in Aufgaben- und Fragestellungen genutzt. Bei der Verwendung des Begriffs „Kombination“ durch Schüler muss je nach Situation entschie- den werden, ob der indirekte Hinweis auf andere Formulierungen sinnvoll erscheint.
Um einzelne Ziele besser formulieren sowie im Verlauf der praktischen Umsetzung Lernfortschritte genauer beurteilen zu können, wurde ein für diese Unterrichtsreihe passendes Stufenmodell der kombinatorischen Problemlösekompetenz entwickelt:
Tab. 2: Stufen der kombinatorischen Problemlösekompetenz
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: eigene Darstellung, angelehnt an MEYER, 2007: 113.
Ziel der hier vorgestellten Unterrichtsreihe ist das Erreichen der fünften Stufe, wenngleich für leistungsschwache Kinder auch schon das sichere Arbeiten auf der dritten oder vierten Stufe als Erfolg zu sehen ist.
Das Richtziel für die gesamte Unterrichtsreihe ist somit:
Die Sch ü ler sollen die multiplikative Struktur des kombinatorischen Zählens er kennen und für die Lösung einfacher kombinatorischer Aufgaben nutzen, indem sie Lösungshilfen, wie die Tabelle oder das Baumdiagramm anwenden, die das systematische Ermitteln aller Möglichkeiten gestatten sowie die zu Grunde lie gende Multiplikation abbilden.
Vor dem Hintergrund des in Kapitel 4.1.1 dargestellten Kompetenzmodells sowie dem entwi- ckelten Richtziel wurde eine Unterrichtsreihe mit sieben Unterrichtsstunden entworfen. Da dies ohne Kenntnisse zu den Lernvoraussetzungen einer bestimmten Klasse geschah, kann es bei der praktischen Umsetzung eventuell erforderlich sein, den Umfang individuell anzu- passen. Für die einzelnen Unterrichtstunden ergeben sich folgende Themen sowie Grobziele:
Tab. 3: Stundenthemen und -ziele der gesamten Unterrichtsreihe
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: eigene Darstellung.
Diese Unterrichtseinheit umfasst die ersten vier Stunden der Reihe. Die sichere Anwendung der einzelnen Lösungswege ist eine grundlegende Voraussetzung für die folgende Unterrichtseinheit sowie auch für die spätere Arbeit mit kombinatorischen Aufgaben zu anderen Zeitpunkten im Schuljahr oder in höheren Klassenstufen. Die Schüler müssen zuerst an verschiedene Lösungswege herangeführt werden, den Umgang mit ihnen erlernen sowie Vorund Nachteile einzelner Hilfen erkennen. Erst dann können sie gemäß einer natürlichen Differenzierung selbst entscheiden, welcher Lösungsweg der für ihre individuellen Lernvoraussetzungen sowie der für die jeweilige Aufgabe passendste ist.
Das Aufzeichnen und Aufschreiben der einzelnen Möglichkeiten als ikonische bzw. symboli- sche Varianten des systematischen Auflistens, die Tabelle sowie das Baumdiagramm wer- den in dieser Unterrichtseinheit anhand von Aufgaben vom Typ kartesisches Produkt von zwei bzw. drei Mengen erarbeitet. In der darauffolgenden Einheit müssen die Schüler diese vertiefend auf weitere kombinatorische Aufgaben und Aufgabentypen anwenden. Dabei han- delt es sich in der fünften Unterrichtsstunde um eine Permutationsaufgabe (siehe Anlage 13, Seite XXXV). Schließlich sollen die Schüler in der sechsten und siebten Stunde an verschie- denen Lernstationen selbst Aufgaben und Lösungswege wählen (siehe Anlagen 14ff, Seite XXXVIff). Leistungsstarke Schüler sollen durch die grundlegende Erarbeitung der einzelnen Lösungswege in der ersten Unterrichtseinheit der Reihe auch befähigt werden, sich nun selbstständig Lösungen zu Variationsaufgaben zu erschließen. Diese werden im Rahmen der Stationsarbeit zusätzlich angeboten.17
Exemplarische Bedeutung: Einschränkend muss eingeräumt werden, dass das kartesische Produkt durch die Auswahl von Elementen aus unterschiedlichen Grundmengen in gewisser Weise nicht exemplarisch für die anderen kombinatorischen Aufgabentypen steht. Bei den letzteren werden Elemente aus ein und derselben Grundmenge angeordnet oder ausgewählt (siehe auch Kapitel 3.1, Seite 4). Nichtsdestotrotz bestehen vielerlei Gründe, das kartesische Produkt als Aufgabentyp für den Einstieg dieser Unterrichtsreihe zu wählen.
Wie alle kombinatorischen Probleme stellen sich bei Aufgaben zum kartesischen Produkt die zwei zentralen Fragen der Kombinatorik.18 Auch müssen eine bestimmte Anzahl von Ent- scheidungsstufen durchlaufen und die einzelnen Möglichkeiten auf jeder Stufe des Entschei- dungsprozesses bestimmt werden. Aufgaben zum kartesischen Produkt lassen sich ebenso wie alle anderen kombinatorischen Aufgabentypen in Abhängigkeit vom Sachkontext verein- fachen oder erweitern. Die erarbeiteten Lösungswege können außerdem auf die weiteren Aufgabentypen angewandt werden. Der Einstieg zur Unterrichtsreihe zum Thema Kombina- torik mithilfe des kartesischen Produkts erscheint insgesamt besonders sinnvoll, da durch die Verbindung zu multiplikativen Vorstellungen an Vorwissen angeknüpft werden kann.
Gegenwartsbedeutung: Kinder begegnen in ihrem Alltag immer wieder Phänomenen, die kombinatorische Fragestellungen im Allgemeinen und das kartesische Produkt im Speziellen repräsentieren. Im letzteren Fall sind dies beispielsweise Entscheidungen zur Zusammenstellung verschiedener Kleidungsstücke oder von Speisen und Beilagen im Restaurant. Zur Bewältigung einiger realer Umweltsituationen ist die Thematisierung solcher und ähnlicher Fragestellungen hilfreich (vgl. PADBERG, 2005: 122).
Wie bereits erläutert, stellt das kartesische Produkt den kombinatorischen Aspekt der Multi- plikation dar (siehe Kapitel 3.2, Seite 5). Insofern ist die unterrichtliche Nutzung von Aufga- ben dieses Typs auch für die Ausbildung vielfältiger Vorstellungen zur Multiplikation und so- mit für die Festigung dieser Operation von großer Bedeutung (vgl. GRASSMANN, 2010: 37).
Zukunftsbedeutung: Die Kombinatorik ist Grundlage für weitere Bereiche der Mathematik, insbesondere für die Stochastik. Wenn kombinatorische Denkschemata in der Grundschule angebahnt werden, kann in höheren Klassenstufen bei der Behandlung kombinatorischer Probleme darauf zurückgegriffen werden. (vgl. HOFFMANN, 2003: 60)
Auch das Baumdiagramm selbst, das als ein möglicher Lösungsweg zum kartesischen Pro- dukt eingeführt wird, ist für die weitere systematische Lösung von Problemen des Alltags wichtig. Es wird in unterschiedlicher Form zur übersichtlichen Darstellung von Informationen verwendet, wie z.B. im naturwissenschaftlichen Bereich bei der Ordnung der Wirbeltiere oder dem Kreuzungsschema, bei Darstellungen in der Grammatik oder im Fall von Stammbäumen. Kennen Schüler einmal dieses Schema, können sie auch in anderen Kontexten die dargestellten Informationen besser verstehen. (vgl. SCHULZ, 1991: 506)
Thematische Strukturierung: Beim kartesischen Produkt ergibt sich je nach Anzahl der Mengen eine bestimmte Anzahl von Stufen, die im Entscheidungsprozess durchlaufen wer- den. Auf jeder Entscheidungsstufe müssen die einzelnen Möglichkeiten bestimmt werden. Zur Ermittlung der Gesamtzahl aller Möglichkeiten findet die Produktregel Anwendung (siehe Kapitel 3.2, Seite 5). Lösungshilfen, die diese Struktur am besten abbilden, sind die Tabelle für das kartesische Produkt zweier Mengen und das Baumdiagramm für das kartesische Produkt beliebig vieler Mengen.
Durch die unterschiedliche Anzahl möglicher Stufen im Entscheidungsprozess ergibt sich für die unterrichtliche Behandlung eine Struktur, die die Arbeit vom Einfachen zum Schwierigen ermöglicht. Aufgaben können im Verlauf der Unterrichtseinheit im Komplexitätsgrad, d.h. in der Anzahl der Stufen, ansteigen. Da die Tabelle als Lösungshilfe nur für zweistufige Aufga- benstellungen einsetzbar ist, bietet sich diese für eine erste Thematisierung systematischer Vorgehensweisen an. Darauf aufbauend wird das Baumdiagramm eingeführt. Die Schüler müssen diese Art von Lösungshilfe erst als ein effektives Werkzeug kennenlernen (vgl. KRAUTHAUSEN, SCHERER, 2008: 29). Auch hier sollte bei der Einführung mit einem zwei- stufigen Prozess begonnen werden. Erst wenn die Schüler ein erstes inhaltliches Verständ- nis entwickelt haben, ist es sinnvoll, dies auf mehrstufige Sequenzen auszudehnen. (vgl. DRAGON, ZILLMER, 2008a: 53; NEUBERT, 2003: 96)
Zugänglichkeit und Darstellbarkeit: Die Auswahl von Aufgaben, deren Sachkontext den Bezug zur Lebenswelt der Kinder ermöglicht, ist von großer Bedeutung. Für diese Unter- richtsreihe wurde daher ein passendes Rahmenthema gewählt, das den Einbezug verschie- dener kombinatorischer Probleme gestattet und das Interesse von Kindern trifft. Der Zoo und Tiere im Allgemeinen bieten ein großes Potential, damit die Kinder auch für den mathemati- schen Inhalt die nötige Motivation und Lernbereitschaft entwickeln. Dieses Rahmenthema hat zudem den Vorteil, dass es jahreszeitenunabhängig im Schuljahr flexibel eingesetzt wer- den kann. Ferner spielt die Problemhaftigkeit der Aufgaben für die Zugänglichkeit eine große Rolle. Danach richtete sich auch die Formulierung der zugehörigen Fragestellungen.19
Die Schüler sollen bei der Lösung aller gestellten Aufgaben die Gelegenheit haben, durch Legen von zur Verfügung gestelltem Bildmaterial oder anderer gegenständlicher Anschau- ungsmittel einzelne Möglichkeiten zu erschließen. Somit soll einer natürlichen Differenzie- rung Rechnung getragen werden. Besonders werden dadurch Schüler unterstützt, die sich noch hauptsächlich auf der handelnden (enaktiven) Ebene bewegen und denen die Arbeit auf der symbolischen Ebene in dem neuen Aufgabenkontext noch schwer fällt. Allerdings ist es nicht möglich, so viele Anschauungsmaterialien zur Verfügung zu stellen, so dass von al- len Schülern alle Möglichkeiten gleichzeitig gelegt werden können. Der damit verbundene Vorbereitungs- und Materialaufwand wäre für Lehrer nicht zu bewältigen.20 Andererseits kann dies auch ein Anlass sein, die Schüler dahingehend zu orientieren, gefundene Möglich- keiten zu notieren, um diese nicht zu vergessen (vgl. NEUBERT, 2003: 95).
Auch bei der Erarbeitung und Vertiefung der Tabellenform sowie des Baumdiagramms wer- den die einzelnen Elemente an der Tafel in Form von Bildmaterial gezeigt. Dies dient wiede- rum der Ausbildung gegenstandsnaher Vorstellungen. Zudem ist die Aktualisierung des Ta- felbilds mit Bildkarten schneller zu handhaben. Auch fällt Schülern das Anbringen von Bil- dern leichter als das Schreiben mit Kreide auf der Tafel (vgl. REITBERGER, 2007: 40). Gleichzeitig sollen aber auch Anfangsbuchstaben in Verbindung mit den bildlichen Elemen- ten genutzt werden, um die Orientierung auf der symbolischen Ebene zu fördern.
Hinsichtlich der Zugänglichkeit zum Baumdiagramm als Lösungshilfe wurde sich für die ver- tikale Ausrichtung mit der Öffnung nach oben entschieden. Diese Form knüpft an das Vor- wissen der Schüler zur Wuchsrichtung eines Baumes an und kann ihnen daher am ehesten als ein Diagramm in Form eines Baumes vermittelt werden. Möglichen Schwierigkeiten bei der Arbeit von unten nach oben wird u.a. durch die schrittweise Erstellung bei der Einführung des Baumdiagramms sowie durch Hinweise auf die nötige Platzeinteilung des Arbeitsblattes entgegengewirkt.
Das Zeichnen eines Baumdiagramms ist für Kinder recht anspruchsvoll. DRAGON und ZIL- LMER empfehlen daher das vorherige Legen mit Streichhölzern. (vgl. DRAGON; ZILLMER, 2008a: 54) Um Empfehlungen des Brandschutzes einzuhalten, werden anstelle dessen in dieser Unterrichtsreihe Legestäbchen aus dem Anfangsunterricht genutzt. Diese haben zu- dem den Vorteil, dass sie in verschiedenen Längen und Farben verfügbar sind. Dadurch er- leichtern sie zum einen das Legen des Baumdiagramms und ermöglichen zum anderen eine farbig unterstützte Struktur.
Konzeptionell folgen in der Unterrichtseinheit Probleme mit zunehmendem Komplexitätsgrad aufeinander. Insgesamt werden zwei Aufgaben thematisiert. In der ersten Stunde stehen der eigene und entdeckende Zugang der Schüler und das Probieren zu einem kombinatorischen Problem zur Zusammenstellung von Ansteckbuttons mit einem zweistufigen Entscheidungs- prozess im Vordergrund (siehe Anlage 6, Seite XXVII). Auf die Bedeutung eigener Zugänge, die als Grundlage der gemeinsamen Erarbeitung der systematischen Lösungswege dienen, wurde bereits in Kapitel 3.3.2 eingegangen (siehe Seite 7f). Anhand einer zweiten Aufgabe zur Zusammenstellung verschiedener Futtermischungen aus jeweils einer Obst- und Gemü- sesorte werden in den drei darauffolgenden Stunden die verschiedenen Lösungswege sys- tematisch erarbeitet. Dabei erfolgt dies in der zweiten und dritten Unterrichtsstunde zuerst mittels einer zweistufigen Problemstellung (siehe Anlage 7, Seite XXVIII). Im Anschluss da- ran wird in der vierten Unterrichtsstunde im Rahmen der Festigung des Baumdiagramms dieses kombinatorische Problem auf einen dreistufigen Entscheidungsprozess erweitert.21 Die detaillierten Verlaufspläne der vier Unterrichtsstunden finden sich in der Anlage 3, Seite XVff sowie die geplanten Tafelbilder in der Anlage 4, Seite XXIIIf.
Im Verlauf der zweiten bis vierten Unterrichtsstunde wird nur ein Aufgabenkontext genutzt, da die Anforderungen für die Schüler bei der Erschließung der systematischen Lösungshilfen schon so hoch sind, dass sie ein neuer Sachkontext höchstwahrscheinlich überfordern würde. Zudem erhalten die Schüler somit einen geordneten Überblick über alle Lösungswege angewandt auf eine Aufgabe. Sie erkennen dadurch Gemeinsamkeiten und Unterschiede und folglich auch Vor- und Nachteile der einzelnen Lösungswege.
In Bezug auf die einzelnen Lösungswege soll in der ersten Unterrichtsstunde ausgehend von den Schülerlösungen zum Aufzeichnen und Aufschreiben der Möglichkeiten sowie zur Tabellenform hingeführt werden. Der Aufgabenkontext bzw. die Wahl beider Mengen wurde mit Farben und Tieren, die für Kinder relativ einfach zeichnerisch umzusetzen sind, so gewählt, dass auch ein Zugang auf der ikonischen Ebene möglich ist. Sollte das Aufzeichnen der Möglichkeiten jedoch von den Schülern nicht selbst gewählt werden, wird dennoch in der Auswertungsphase dieser Lösungsweg von der Lehrkraft präsentiert. Schließlich ist das Ziel der Unterrichtseinheit das Kennenlernen verschiedener Lösungswege als Basis für die eigenständige Entscheidung der Schüler über den für sie passendsten.
Die Schüler vertiefen die drei genannten Lösungswege in der zweiten Unterrichtsstunde ar- beitsteilig in drei Expertengruppen.
1 Schriftliche Schüleräußerungen zur Frage ihrer genutzten Lösungswege und Vorgehensweisen beim Lernen an Stationen im Rahmen der Unterrichtsreihe „Eine mathematische Reise durch den Zoo“
2 Im Rahmen des Mathematisierungsprozesses werden Realsituationen in ein mathematisches Modell umgesetzt (vgl. BÜCHTER, LEUDERS, 2005: 19).
3 Das Spiralprinzip stellt ein didaktisches Prinzip dar. Es besagt, einen Lerngegenstand entsprechend der Entwicklungsphase der Schüler zu vermitteln, ihn dort zu einem vorläufigen Abschluss zu bringen und in einer späteren Klasse wieder aufzugreifen. Dabei wird der Lernstoff zu einem höheren Abstraktionsniveau geführt und sich im Schwierigkeitsgrad erhöhenden Lernprozess fortgesetzt. (vgl. KÖCK, OTT, 2002: 680; LAUTER, 1991: 24, 53)
4 Zu diesem Bereich gehören weiterhin das Sachrechnen, der Umgang mit Daten und Informationen sowie Zufallsexperimente (vgl. TMBWK, 2010: 13f).
5 In Brandenburg umfasst die Grundschule nicht wie in Thüringen vier Klassenstufen, sondern sechs.
6 Für die ausführliche Darstellung einzelner Aspekte dieser Kompetenzen siehe KMK, 2004: 7f.
7 Ein möglicher Grund dafür könnte sein, dass der Brandenburger Rahmenlehrplan wie die Bildungsstandards im Jahr 2004 veröffentlicht wurde. Dagegen wurde der Thüringer Lehrplan 2010 und somit einige Jahre nach den Bildungsstandards herausgegeben.
8 Hierin besteht auch die Verbindung zwischen Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Im Laplace- Modell der Wahrscheinlichkeit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A aus dem Quoti- enten der Anzahl der für das Ereignis A günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Fälle. Die dafür nötigen Anzahlbestimmungen lassen sich dem Bereich der Kombinatorik zuordnen. (vgl. KÜTTING, SAUER, 2008: 75)
9 Der zeitlich-sukzessive Aspekt ist mit Situationen verbunden, in denen eine Handlung mehrfach wiederholt wird, wie z.B. bei der folgenden Situation: „Brigitte fasst beim Wäscheaufhängen viermal in den Beutel und holt jeweils zwei Wäscheklammern heraus“. (vgl. RADATZ (et.al.), 1998: 82)
10 Der räumlich-simultane Aspekt findet sich in multiplikativen Mustern, bei denen die Gesamtmenge auf einen Blick überschaut und ihre Anzahl aufgrund der räumlichen Anordnung leicht bestimmt werden kann. Ein Bei- spiel sind Eierpaletten (8 Reihen mit jeweils 10 Eiern). (vgl. GRASSMANN, 2010: 36; PADBERG, 2005: 118f)
11 Die dazugehörige Lösung lautet: 2 4 = 8 Möglichkeiten.
12 Die dazugehörige Lösung lautet: 2 4 3 = 24 Möglichkeiten.
13 In verschiedenen Quellen lassen sich auch die Termini „Darstellungsmodi“ (vgl. SCHROTER, 1985: 423), „Dar- stellungsformen“ (vgl. LAUTER, 1991: 22), „Repräsentationsformen“ (vgl. LAUTER, 1991: 21ff) oder „Reprä- sentationsebenen“ (vgl. MOGK, 2008: 13) finden.
14 Der Entwicklungspsychologe Jean Piaget entwickelte ein Modell zur Denkentwicklung von Kindern. Nach die- sem Modell befinden sich Kinder im Grundschulalter vorwiegend im Stadium der konkreten Operationen (nähe- res dazu siehe ZECH, 2002: 89ff).
15 Außerdem existieren weitere Darstellungs- und Lösungsmöglichkeiten, wie z.B. das Wegediagramm und das Paardiagramm (vgl. RADATZ, (et.al), 1998: 83).
16 Im Sinne einer natürlichen Differenzierung erhalten alle Schüler das gleiche Lernangebot, das naturgemäß Fragestellungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades enthält. Das aus diesem Spektrum zu bearbeitende Niveau wird nicht mehr von der Lehrkraft zugewiesen, sondern die Schüler treffen eine selbst verantwortete Wahl des Schwierigkeitsgrades. Neben dem Niveau können den Kindern Lösungswege, Hilfsmittel oder Dar- stellungsweisen frei gestellt sein. (vgl. KRAUTHAUSEN; SCHERER, 2008: 228f)
17 Kombinationsaufgaben werden in der hier vorgestellten Unterrichtsreihe nicht thematisiert, da dies nach Mei- nung der Verfasserin den Umfang der Reihe übersteigen würde. Diese Aufgaben lassen sich zudem nur schwer mithilfe der erarbeiteten Lösungswege, insbesondere des Baumdiagramms, lösen. Der Schwerpunkt der Reihe liegt auf der Erarbeitung der genannten Lösungshilfen und nicht auf einer besonders großen Aufga- benvielfalt.
18 „ ‚Welche Möglichkeiten gibt es, Elemente einer endlichen Menge [bzw. mehrerer endlicher Mengen] nach be- stimmten Bedingungen anzuordnen oder auszuwählen?‘ (…) [und] ‚Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür ins- gesamt?‘ “ (DRAGON, ZILLMER, 2008a: 51)
19 So wird bei einigen Aufgaben nicht einfach nach der Anzahl der Möglichkeiten gefragt, sondern auch ein zusätzliches Problem generiert. Beispielsweise müssen die Kinder bei der Aufgabe zur Futtermischung für die Affen herausfinden, ob die Gesamtzahl es dem Tierpfleger erlaubt, den Tieren an jedem Tag der Woche eine andere Futtermischung zu geben (siehe Anlage 7, Seite XXVIII). Diese zusätzliche Problemgenerierung war allerdings nicht bei allen Aufgaben der gesamten Unterrichtsreihe möglich.
20 Ein Beispiel: eine zweistufige Aufgabe vom Typ kartesisches Produkt, in der es insgesamt 12 Möglichkeiten mit jeweils 2 Elementen gibt. Dafür wären für einen Schüler bereits 24 Bilder notwendig, damit alle Möglichkei- ten gleichzeitig gelegt werden können. Bei einer Klassenstärke von 25 Schülern müssten somit insgesamt 600 Elemente (bzw. bei Partnerarbeit immer noch 300 Elemente) als Bilder zur Verfügung gestellt werden.
21 Zusätzlich zu den Obst- und Gemüsesorten kommen nun noch zwei Nusssorten hinzu, von denen jeweils eine zur Futtermischung hinzugefügt werden muss (siehe auch Anlage 5, Seite XXVI).
